设f(x)=smx 一∫0x(x一t)f(t)dt，其中f为连续函数，求f(x)．

admin2017-04-24 75

问题设f(x)=smx 一∫₀^x(x一t)f(t)dt，其中f为连续函数，求f(x)．

选项

答案原方程可改写为 f(x)=sinx一x∫₀^xf(t)dt+∫₀^xtf(t)dt 上式两端对x求导得 f’(x)=cosx一∫₀^xf(t) dt一xf(x)+x(f)x=cosx一∫₀^xf(t)dt (*) 两端再对x求导得f"(x)=一sinx一f(x) 即f’(x)+f(x)=一sinx 这是一个二阶线性非齐次方程，由原方程知f(0)=0，由(*)式知f’(0)=1．特征方程为 r²+1=0，r=±i 齐次通解为 [*]=C₁sinx+C₂cosx 设非齐次方程特解为 y^*= x(asinx+bcosx)，代入 f"(x)+f(x)=一smx得 a=0．b=[*] 则非齐次方程的通解为 y=C₁sinx+C₂xosx+[*]cosx 由初始条件y(0)=0和y’(0)=1可知 C₁=[*]，C₂=0.

解析

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考研数学二

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