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设f(x)在[0,1]上连续,证明:存在ξ∈(0,1),使得∫0ξf(t)dt+(ξ一1)f(ξ)=0.
设f(x)在[0,1]上连续,证明:存在ξ∈(0,1),使得∫0ξf(t)dt+(ξ一1)f(ξ)=0.
admin
2019-01-23
98
问题
设f(x)在[0,1]上连续,证明:存在ξ∈(0,1),使得∫
0
ξ
f(t)dt+(ξ一1)f(ξ)=0.
选项
答案
令φ(x)=x∫
0
x
f(t)dt一∫
0
x
f(t)dt. 因为φ(0)=φ(1)=0,所以由罗尔定理,存在ξ∈(0,1),使得φ
’
(ξ)=0. 而φ
’
(x)=∫
0
x
f(t)dt+(x一1)f(x),故∫
0
ξ
f(t)dt+(ξ一1)f(ξ)=0.
解析
由∫
0
x
f(t)dt+(x—1)f(x)=0,得∫
0
x
f(t)dt+xf(x)一f(x)=0,从而(x∫
0
x
f(t)dt一∫
0
x
f(t)dt)
’
=0,辅助函数为φ(x)=x∫
0
x
f(t)dt一∫
0
x
f(t)dt.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/W5M4777K
0
考研数学一
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