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设α1,α2,α3);均为3维列向量,记矩阵 A={α1,α2,α3),B=(α1+α2+α3,α1+2α2+4α3,α1+3α2+9α3). 如果|A|=1,那么|B|=________.
设α1,α2,α3);均为3维列向量,记矩阵 A={α1,α2,α3),B=(α1+α2+α3,α1+2α2+4α3,α1+3α2+9α3). 如果|A|=1,那么|B|=________.
admin
2021-01-19
68
问题
设α
1
,α
2
,α
3
);均为3维列向量,记矩阵
A={α
1
,α
2
,α
3
),B=(α
1
+α
2
+α
3
,α
1
+2α
2
+4α
3
,α
1
+3α
2
+9α
3
).
如果|A|=1,那么|B|=________.
选项
答案
应填2.
解析
[分析] 将B写成用A有乘另一矩阵的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.
由题设,有
B=(α
1
+α
2
+α
3
,α
1
+2α
2
+4α
3
,α
1
+3α
2
+9α
3
)
=(α
1
,α
2
,α
3
)
于是有 |B|=|A|。
=1×2=2.
[详解2] 用行列式性质对列向量组化简计算得.
|B|=|α
1
+α
2
+α
3
,α
1
+2α
2
+4α
3
,α
1
+3α
2
+9α
3
|
=|α
1
+α
2
+α
3
,α
2
+3α
3
,α
2
+5α
3
|
=|α
1
+α
2
+α
3
,α
2
+3α
3
,2α
3
|=2|α
1
,α
2
,α
3
|=2。
[评注1] 本题相当于矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示,关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.一般地,若
β
1
=a
11
α
1
+a
12
α
2
+…+a
1n
α
n
,
β
2
=a
21
α
1
+a
22
α
2
+…+a
2n
α
n
,
…
β
m
=a
m1
α
1
+a
m2
α
2
+…+a
mn
α
n
,
则有 [β
1
,β
2
,…,β
m
]=[α
1
,α
2
,α
3
)]
。
[评注2] 作为做题技巧,可令
,于是|B|=2.
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考研数学二
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