设ρ=ρ(x)是抛物线y=上任一点M(x，y)(x≥1)处的曲率半径，s=s(x)是该抛物线上介于点A(1，1)与M之间的弧长，计算3ρd2ρ／ds2－(dρ／ds)2的值。(在直角坐标系下曲率公式为K=)

admin2018-04-14 60

问题设ρ=ρ(x)是抛物线y=

上任一点M(x，y)(x≥1)处的曲率半径，s=s(x)是该抛物线上介于点A(1，1)与M之间的弧长，计算3ρd²ρ／ds²－(dρ／ds)²的值。(在直角坐标系下曲率公式为K=

)

选项

答案[*] 抛物线在点M(x，y)处的曲率半径 [*] =1／2(4x+1)^3／2。若已知平面曲线[*]的显式表示为y=f(x)(a≤x≤b)，则弧长为s=∫_a^b[*]dx，其中f(x)在[a，b]有连续的导数。根据上述结论，所以抛物线上[*]的弧长为 s=s(x)=∫₁^x[*]dx [*] =9(1+4x)－36x=9。

解析

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考研数学二

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利用复合函数求偏导的方法，得[*]
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，且fˊ＋(a)＞0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f〞(a)＜0．
设f(x)∈[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f’’(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫abφ(x)dx=1，证明：∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abφ(x)dx]．
(1997年试题，二)设则g[f(x)]=()．
对数螺线，ρ＝eθ在点(ρ，θ)＝处的切线的直角坐标方程为_______．
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AmericanGroupDynamicsToday,inWesternresearchinstitutesanduniversitydepartment,muchworkisdoneasateamprojecta

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