作自变量替换把方程变换成y关于t的微分方程，并求原方程的通解．

admin2022-01-05 101

问题作自变量替换

把方程

变换成y关于t的微分方程，并求原方程的通解．

选项

答案(Ⅰ)先求 [*] 将②，③代入原方程得 [*] (Ⅱ)求解二阶常系数线性方程④．相应的特征方程λ²+2λ+1=0，有重根λ=—1．非齐次方程可设特解y^*=Asint+Bcost，代入④得一（Asint+Bcost)+2(Acost—Bsint)+(Asint+Bcost)=2sint，即Acost—Bsint=sint，比较系数得A=0，B=—1．即y^*(t)=—cost，因此④的通解为 y=(Cl+C2t)e^—t一cost． (Ⅲ)原方程的通解为 y=(C₁+C₂arc8inx)e^—arcsinx—[*] 其中sin²(arcsinx)+cos²(arcsinx)=1，cos(arcsinx)=[*]

解析

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考研数学三

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