2. 考研
  3. 设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(Ⅰ)的系数矩阵为A＝(Ⅱ)的一个基础解系为η1＝(2，－1，a＋2，1)T，η2＝(－1，2，4，a＋8)T． (1)求(Ⅰ)的一个基础解系； (2)口为什么值时(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共非零解?此时求

设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(Ⅰ)的系数矩阵为A＝(Ⅱ)的一个基础解系为η1＝(2，－1，a＋2，1)T，η2＝(－1，2，4，a＋8)T． (1)求(Ⅰ)的一个基础解系； (2)口为什么值时(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共非零解?此时求

admin2019-03-21  100
问题 设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(Ⅰ)的系数矩阵为A＝(Ⅱ)的一个基础解系为η1＝(2，－1，a＋2，1)T，η2＝(－1，2，4，a＋8)T．
    (1)求(Ⅰ)的一个基础解系；
    (2)口为什么值时(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共非零解?此时求出全部公共非零解．
选项
答案(1)把(Ⅰ)的系数矩阵用初等行变换化为简单阶梯形矩阵 [*] 得到(Ⅰ)的同解方程组[*] 对自由未知量χ3，χ4赋值，得(Ⅰ)的基础解系γ1＝(5，－3，1，0)T，γ3＝(－3，2，0，1)T． (2)(Ⅱ)的通解为c1η1＋c2η2＝(2c1－c2，－c1＋2c2，(a＋2)c1＋4c2，c1＋(a＋8)c2)T．将它代入(Ⅰ)，求出为使c1η1＋c2η2也是(Ⅰ)的解(从而是(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解)，c1，c2应满足的条件为： [*] 于是当a＋1≠0时，必须c1＝c2＝0，即此时公共解只有零解． 当a＋1＝0时，对任何c1，c2，c1η1＋c2η2都是公共解．从而(Ⅰ)，(Ⅱ)有公共非零解．此时它们的公共非零解也就是(Ⅱ)的非零解：c1η1＋c2η2，c1，c1不全为0．
解析
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考研数学二

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