设α1,α2,…,αr和β1,β2,…,βs是两个线性无关的n维向量.证明:向量组{α1,α2,…,αr;β1,β2,…,βs}线性相关存在非零向量r,它既可用α1,α2,…,αr线性表示,又可用β1,β2,…,βs线性表示.

admin2017-06-08  65

问题 设α1,α2,…,αr和β1,β2,…,βs是两个线性无关的n维向量.证明:向量组{α1,α2,…,αr;β1,β2,…,βs}线性相关<=>存在非零向量r,它既可用α1,α2,…,αr线性表示,又可用β1,β2,…,βs线性表示.

选项

答案“=>”因为{α1,α2,…,αr;β1,β2,…,βs}线性相关,所以存在c1,c2,…,cr,cr+1,…,cr+s不全为0,使得 c1α1+c2α2+…+crαr+cr+1β1+cr+2β2+…+cr+sβs=0 记γ=c1α1+c2α2+…+crαr-(cr+1β1+cr+2β2+…+cr+sβs), 则γ≠0(否则由α1,α2,…,αr和β1,β2,…,βs都线性无关,推出c1,c2,…,cr,cr+1,…,cr+s全为0),并且它既可用α1,α2,…,αr表示,又可用β1,β2,…,βs表示. “<=”设γ≠0,它既可用α1,…,αr表示,又可用β1,…,βs表示. 记γ=c1α1+c2α2+…+crαs=t1β1+t2β2+…+tsβs,则c1,c2,…,cr和t1,t2,…,ts都不全为0, 而 c1α1+c2α2+…+crαs-t1β1-t2β2-…-tsβs=0. 根据定义,{α1,α2,…,αr;β1,β2,…,βs}线性相关.

解析
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