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设α1,α2,…,αr和β1,β2,…,βs是两个线性无关的n维向量.证明:向量组{α1,α2,…,αr;β1,β2,…,βs}线性相关存在非零向量r,它既可用α1,α2,…,αr线性表示,又可用β1,β2,…,βs线性表示.
设α1,α2,…,αr和β1,β2,…,βs是两个线性无关的n维向量.证明:向量组{α1,α2,…,αr;β1,β2,…,βs}线性相关存在非零向量r,它既可用α1,α2,…,αr线性表示,又可用β1,β2,…,βs线性表示.
admin
2017-06-08
82
问题
设α
1
,α
2
,…,α
r
和β
1
,β
2
,…,β
s
是两个线性无关的n维向量.证明:向量组{α
1
,α
2
,…,α
r
;β
1
,β
2
,…,β
s
}线性相关<=>存在非零向量r,它既可用α
1
,α
2
,…,α
r
线性表示,又可用β
1
,β
2
,…,β
s
线性表示.
选项
答案
“=>”因为{α
1
,α
2
,…,α
r
;β
1
,β
2
,…,β
s
}线性相关,所以存在c
1
,c
2
,…,c
r
,c
r+1
,…,c
r+s
不全为0,使得 c
1
α
1
+c
2
α
2
+…+c
r
α
r
+c
r+1
β
1
+c
r+2
β
2
+…+c
r+s
β
s
=0 记γ=c
1
α
1
+c
2
α
2
+…+c
r
α
r
-(c
r+1
β
1
+c
r+2
β
2
+…+c
r+s
β
s
), 则γ≠0(否则由α
1
,α
2
,…,α
r
和β
1
,β
2
,…,β
s
都线性无关,推出c
1
,c
2
,…,c
r
,c
r+1
,…,c
r+s
全为0),并且它既可用α
1
,α
2
,…,α
r
表示,又可用β
1
,β
2
,…,β
s
表示. “<=”设γ≠0,它既可用α
1
,…,α
r
表示,又可用β
1
,…,β
s
表示. 记γ=c
1
α
1
+c
2
α
2
+…+c
r
α
s
=t
1
β
1
+t
2
β
2
+…+t
s
β
s
,则c
1
,c
2
,…,c
r
和t
1
,t
2
,…,t
s
都不全为0, 而 c
1
α
1
+c
2
α
2
+…+c
r
α
s
-t
1
β
1
-t
2
β
2
-…-t
s
β
s
=0. 根据定义,{α
1
,α
2
,…,α
r
;β
1
,β
2
,…,β
s
}线性相关.
解析
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考研数学二
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