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设A为n阶正定矩阵,证明: A-1仍为正定矩阵;
设A为n阶正定矩阵,证明: A-1仍为正定矩阵;
admin
2021-07-27
63
问题
设A为n阶正定矩阵,证明:
A
-1
仍为正定矩阵;
选项
答案
方法一 用合同法.依题设,已知A为n阶正定矩阵,因此必与单位矩阵合同。即存在可逆矩阵C,使得A=C
T
C,从而有A
-1
=C
-1
(C
T
)
-1
=C
-1
(C
-1
)
T
,知存在可逆矩阵Q=(C
-1
)
T
,使得A
-1
=Q
T
Q,因此,A
-1
仍为正定矩阵. 方法二 用特征值法.依题设,已知A为n阶正定矩阵,因此,A的全部特征值为正,即λ
i
>0(i=1,2,…,n),因为A
T
=A,则(A
-1
)
T
=(A
T
)
-1
=A
-1
,即A
-1
为对称矩阵,又A
-1
的特征值为A的特征值的倒数,即为λ
i
-1
>0,从而知A
-1
的特征值全部为正,因此,A
-1
仍为正定矩阵.
解析
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