设A为n阶正定矩阵，证明： A-1仍为正定矩阵；

admin2021-07-27 49

问题设A为n阶正定矩阵，证明：
A^-1仍为正定矩阵；

选项

答案方法一用合同法．依题设，已知A为n阶正定矩阵，因此必与单位矩阵合同。即存在可逆矩阵C，使得A=C^TC，从而有A^-1=C^-1(C^T)^-1=C^-1(C^-1)^T，知存在可逆矩阵Q=(C^-1)^T，使得A^-1=Q^TQ，因此，A^-1仍为正定矩阵．方法二用特征值法．依题设，已知A为n阶正定矩阵，因此，A的全部特征值为正，即λ_i＞0(i=1，2，…，n)，因为A^T=A，则(A^-1)^T=(A^T)^-1=A^-1，即A^-1为对称矩阵，又A^-1的特征值为A的特征值的倒数，即为λ_i^-1＞0，从而知A^-1的特征值全部为正，因此，A^-1仍为正定矩阵．

解析

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