设A为n阶正定矩阵,证明: A-1仍为正定矩阵;

admin2021-07-27  27

问题 设A为n阶正定矩阵,证明:
A-1仍为正定矩阵;

选项

答案方法一 用合同法.依题设,已知A为n阶正定矩阵,因此必与单位矩阵合同。即存在可逆矩阵C,使得A=CTC,从而有A-1=C-1(CT)-1=C-1(C-1)T,知存在可逆矩阵Q=(C-1)T,使得A-1=QTQ,因此,A-1仍为正定矩阵. 方法二 用特征值法.依题设,已知A为n阶正定矩阵,因此,A的全部特征值为正,即λi>0(i=1,2,…,n),因为AT=A,则(A-1)T=(AT)-1=A-1,即A-1为对称矩阵,又A-1的特征值为A的特征值的倒数,即为λi-1>0,从而知A-1的特征值全部为正,因此,A-1仍为正定矩阵.

解析
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