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  3. 设A为n阶正定矩阵，证明： A-1仍为正定矩阵；

设A为n阶正定矩阵，证明： A-1仍为正定矩阵；

admin2021-07-27  65
问题 设A为n阶正定矩阵，证明：
A-1仍为正定矩阵；
选项
答案方法一 用合同法．依题设，已知A为n阶正定矩阵，因此必与单位矩阵合同。即存在可逆矩阵C，使得A=CTC，从而有A-1=C-1(CT)-1=C-1(C-1)T，知存在可逆矩阵Q=(C-1)T，使得A-1=QTQ，因此，A-1仍为正定矩阵． 方法二 用特征值法．依题设，已知A为n阶正定矩阵，因此，A的全部特征值为正，即λi＞0(i=1，2，…，n)，因为AT=A，则(A-1)T=(AT)-1=A-1，即A-1为对称矩阵，又A-1的特征值为A的特征值的倒数，即为λi-1＞0，从而知A-1的特征值全部为正，因此，A-1仍为正定矩阵．
解析
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考研数学二

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