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  3. (2011年)求方程karctanx—x=0不同实根的个数，其中k为参数．

(2011年)求方程karctanx—x=0不同实根的个数，其中k为参数．

admin2018-06-30  35
问题 (2011年)求方程karctanx—x=0不同实根的个数，其中k为参数．
选项
答案解1 令f’(x)=karctanx—x，则f(x)是(一∞，+∞)上的奇函数，且 [*] 当k一1≤0即k≤1时，f’(x)＜0(x≠0)，f(x)在(一∞，+∞)内单调减少，方程f(x)=0只有一个实根x=0． 当k一1＞0即k＞1时，在[*]内，f’(x)＞0，f(x)单调增加；在[*]内，f’(x)＜0，f(x)单调减少，所以[*]是f(x)在(0，+∞)内的最大值． 由于f(0)=0，所以[*] 又因为[*]所以存在[*]使得f(ξ)=0． 由f(x)是奇函数及其单调性可知：当k＞1时，方程f(x)=0有且仅有三个不同实根x=一ξ，x=0，x=ξ． 解2 令f(x)=karctanx-x，显然f(x)是奇函数，则其零点关于原点对称，f(0)=0，只需讨论f(x)在(0，+∞)上零点的个数，为此，令 [*] g(x)与f(x)在(0，+∞)内零点个数相同， [*] 则g’(x)＞0 x∈(0，+∞) g(x)单调增，又 [*] 若k≤1，g(x)在(0，+∞)内：无零点，原方程有唯一实根x=0； 若k＞1，g(x)在(0，+∞)内有唯一零点，原方程有三个实根．
解析
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考研数学一

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