设B为n×m实矩阵，且r(B)=n，则下列命题中①BBT的行列式的值为零；②BBT必与单位阵等价；③BBT必与对角阵相似；④BBT必与单位阵合同。正确的个数有( )

admin2022-09-14 37

问题设B为n×m实矩阵，且r(B)=n，则下列命题中①BB^T的行列式的值为零；②BB^T必与单位阵等价；③BB^T必与对角阵相似；④BB^T必与单位阵合同。正确的个数有( )

选项 A、1个。
B、2个。
C、3个。
D、4个。

答案C

解析因为r(B)=r(BB^T)=n，由此知行列式|BB^T|≠0，命题①不成立；由于两个同阶矩阵等价的充要条件是秩相等，因此BB^T与单位阵等价，命题②成立；由于BB^T是实对称矩阵，所以必与对角矩阵相似，命题③成立；对于任意的x≠0，由r(B_n×m)=n，知B^Tx≠0，于是(B^Tz)B^TTz=x^T(BB^T)x＞0，可见BB^TT为正定矩阵，因此必与单位矩阵合同，命题④成立。故应选C。

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考研数学二

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