2. 考研
  3. 设B为n×m实矩阵，且r(B)=n，则下列命题中①BBT的行列式的值为零；②BBT必与单位阵等价；③BBT必与对角阵相似；④BBT必与单位阵合同。正确的个数有( )

设B为n×m实矩阵，且r(B)=n，则下列命题中①BBT的行列式的值为零；②BBT必与单位阵等价；③BBT必与对角阵相似；④BBT必与单位阵合同。正确的个数有( )

admin2022-09-14  63
问题 设B为n×m实矩阵，且r(B)=n，则下列命题中①BBT的行列式的值为零；②BBT必与单位阵等价；③BBT必与对角阵相似；④BBT必与单位阵合同。正确的个数有(    )
选项 A、1个。
B、2个。
C、3个。
D、4个。
答案C
解析 因为r(B)=r(BBT)=n，由此知行列式|BBT|≠0，命题①不成立；由于两个同阶矩阵等价的充要条件是秩相等，因此BBT与单位阵等价，命题②成立；由于BBT是实对称矩阵，所以必与对角矩阵相似，命题③成立；对于任意的x≠0，由r(Bn×m)=n，知BTx≠0，于是(BTz)BTTz=xT(BBT)x＞0，可见BBTT为正定矩阵，因此必与单位矩阵合同，命题④成立。故应选C。
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考研数学二

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