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(Ⅰ)设Ф(χ)在[a,b]二阶可导,Ф〞(χ)≤0,在[a,b]的子区间上Ф〞(χ)≠0,又Ф(a)=Ф(b)=0,求证Ф(χ)>0(χ∈(a,b)). (Ⅱ)设f(χ)在[0,1]上可导,且f(χ)≥0,f′(χ)<0. 求证:函数F(
(Ⅰ)设Ф(χ)在[a,b]二阶可导,Ф〞(χ)≤0,在[a,b]的子区间上Ф〞(χ)≠0,又Ф(a)=Ф(b)=0,求证Ф(χ)>0(χ∈(a,b)). (Ⅱ)设f(χ)在[0,1]上可导,且f(χ)≥0,f′(χ)<0. 求证:函数F(
admin
2019-07-19
29
问题
(Ⅰ)设Ф(χ)在[a,b]二阶可导,Ф〞(χ)≤0,在[a,b]的
子区间上Ф〞(χ)≠0,又Ф(a)=Ф(b)=0,求证Ф(χ)>0(χ∈(a,b)).
(Ⅱ)设f(χ)在[0,1]上可导,且f(χ)≥0,f′(χ)<0.
求证:函数F(χ)=∫
0
χ
f(t)dt满足
χF(1)<F(χ)<2∫
0
1
F(t)dt,
χ∈(0,1).
选项
答案
(Ⅰ)由罗尔定理知,[*]c∈(a,b),Ф′(c)=0.由Ф′(χ)在[a,b]↘, [*] [*](χ)在[a,c]↗,在[c,b]↘,[*] Ф(χ)>Ф(a)=0(a<χ≤c), Ф(χ)>Ф(b)=0(c≤χ<b) 因此,Ф(χ)>0(a<χ<b). (Ⅱ)令Ф(χ)=F(χ)-χF(1),则Ф(χ)在[0,1]二阶可导,在[0,1]区间 Ф′(χ)=f(χ)-F(1),Ф〞(χ)=f′(χ)<0 且Ф(0)=F(0)=0,Ф(1)=F(1)-F(1)=0. 由题(Ⅰ)得 Ф(χ)>0(χ∈(0,1)) 即F(χ)>χF(1)(χ∈(0,1)) 将上式两边在[0,1]积分得 ∫
0
1
F(χ)dχ>∫
0
1
χdχ.F(1)=[*]F(1). 由F(χ)在[0,1]单调上升,F(1)>F(χ)(χ∈(0,1))[*] 2∫
0
1
F(χ)dχ>F(1)>F(χ)(χ∈(0,1)). [*]
解析
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考研数学一
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