设f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+∫0tf(s)sinsds， (*) 求f(t)．

admin2018-06-27 61

问题设f(t)连续并满足
f(t)=cos2t+∫₀^tf(s)sinsds， (*)
求f(t)．

选项

答案因f(t)连续[*]∫₀^tf(s)sinsds可导[*]f(t)可导．于是 [*] 这是一阶线性微分方程的初值问题．方程两边乘μ=e^-∫sintdt=e^ccost，得 [e^costf(t)]’=-4sintcoste^cost．积分得e^costf(t)=4fcostd(e^cost)=4(cost-1)e^cost+C．由f(0)=1得C=e．因此，f(t)=e^1-cost+4(cost-1)．

解析

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