设n阶实对称矩阵A满足A2=E，且秩r(A+E)=k

admin2014-02-05 51

问题设n阶实对称矩阵A满足A²=E，且秩r(A+E)=k 求二次型x^TAx的规范形；

选项

答案设λ为矩阵A的特征值，对应的特征向量为α，即Aα=Aα，α≠0，则λ²α=λ²α．由于A²=E，从而(λ²一1)α=0．又因α≠0，故有λ²一1=0，解得λ=1或λ=一1．因为A是实对称矩阵，所以必可对角化，且秩r(A+E)=k，于是[*]那么矩阵A的特征值为：1(k个)，一1(n—k个)．故二次型X^TAx的规范形为y₁²+…+y_k²一y_k+1²一…一y_n²．

解析

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