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  3. 设n阶实对称矩阵A满足A2=E，且秩r(A+E)=k

设n阶实对称矩阵A满足A2=E，且秩r(A+E)=k

admin2014-02-05  31
问题 设n阶实对称矩阵A满足A2=E，且秩r(A+E)=k 求二次型xTAx的规范形；
选项
答案设λ为矩阵A的特征值，对应的特征向量为α，即Aα=Aα，α≠0，则λ2α=λ2α．由于A2=E，从而(λ2一1)α=0．又因α≠0，故有λ2一1=0，解得λ=1或λ=一1．因为A是实对称矩阵，所以必可对角化，且秩r(A+E)=k，于是[*]那么矩阵A的特征值为：1(k个)，一1(n—k个)．故二次型XTAx的规范形为y12+…+yk2一yk+12一…一yn2．
解析
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考研数学二

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