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设f(x)和g(x)在区间(a,b)可导,并设在(a,b)内f(x)g’(x)一f’(x)≠0,证明在(a,b)内至多存在一点ξ,使得f(ξ)=0。
设f(x)和g(x)在区间(a,b)可导,并设在(a,b)内f(x)g’(x)一f’(x)≠0,证明在(a,b)内至多存在一点ξ,使得f(ξ)=0。
admin
2020-03-08
71
问题
设f(x)和g(x)在区间(a,b)可导,并设在(a,b)内f(x)g’(x)一f’(x)≠0,证明在(a,b)内至多存在一点ξ,使得f(ξ)=0。
选项
答案
(反证法):假设在(a,b)内存在两个不同的点ξ
1
,ξ
2
,使得f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0,令 φ(x)=f(x)e
-g(x)
,则 φ’(x)=e
-g(x)
[f’(x)一f(x)g’(x)]。 因为φ(ξ
1
)=φ(ξ
2
)=0,由罗尔定理知,至少存在一点ξ介于ξ
1
,ξ
2
之间,使φ’(ξ)=0, 即e
-g(ξ)
[f’(ξ)-f(ξ)g’(ξ)]=0,于是有f’(ξ)一f(ξ)g’(ξ)=0,这与题设矛盾,所以假设不成立。 故在(a,b)内至多存在一点ξ,使得f(ξ)=0。
解析
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考研数学一
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