2. 考研
  3. 设函数f(x)在区间[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．证明：存在ξ∈(0，3)，使得f’(ξ)=0．

设函数f(x)在区间[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．证明：存在ξ∈(0，3)，使得f’(ξ)=0．

admin2021-10-18  68
问题 设函数f(x)在区间[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．证明：存在ξ∈(0，3)，使得f’(ξ)=0．
选项
答案因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，故f(x)在[0，2]取到最大值M和最小值m，显然3m≤f(0)+f(1)+f(2)≤3M，即m≤1≤M，由介值定理，存在c∈[0，2]，使得，f(c)=1．因为f(x)在[c，3]上连续，在(c，3)内可导，且f(c)=f(3)=1，根据罗尔定理，存在ξ∈(c，3)∈(0，3)，使得f’(ξ)=0．
解析
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考研数学二

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