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设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫0πf(x)sinxdx=0,∫0πcosxdx=0。证明在(0,π)内f(x)至少有两个零点。
设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫0πf(x)sinxdx=0,∫0πcosxdx=0。证明在(0,π)内f(x)至少有两个零点。
admin
2021-11-09
46
问题
设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫
0
π
f(x)sinxdx=0,∫
0
π
cosxdx=0。证明在(0,π)内f(x)至少有两个零点。
选项
答案
反证法,如果f(x)在(0,π)内无零点(或有一个零点,但f(x)不变号,证法相同),即f(x)>0(或<0),由于在(0,π)内,有sinx>0,因此,必有∫
0
π
)sinxdx>0(或<0)。这与假设相矛盾。 如果f(x)在(0,π)内有一个零点,而且改变一次符号,设其零点为a∈(0,π),于是在(0,a)与(a,π)内f(x)sin(x一a)同号,因此∫
0
π
f(x)sin(x一a)dx≠0。但是,另一方面 ∫
0
π
f(x)sin(x一a)dx=∫
0
π
f(x)(sinxcosa一cosxsina)dx =cosa∫
0
π
f(x)sinxdx一sina∫
0
π
f(x)cosxdx=0。 这个矛盾说明f(x)也不可能在(0,π)内只有一个零点,因此它至少有两个零点。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/wwy4777K
0
考研数学二
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