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设f(x)是以T为周期的连续函数(若下式中用到f'(x),则设f'(x)存在),则以下结论中不正确的是 ( )
设f(x)是以T为周期的连续函数(若下式中用到f'(x),则设f'(x)存在),则以下结论中不正确的是 ( )
admin
2019-01-24
39
问题
设f(x)是以T为周期的连续函数(若下式中用到f'(x),则设f'(x)存在),则以下结论中不正确的是 ( )
选项
A、f'(x)必以T为周期.
B、
必以T为周期.
C、
必以T为周期.
D、
必以T为周期.
答案
B
解析
(B)的反例:f(x)=sin
2
x,以π为周期,但
不是周期函数,所以(B)不正确,选(B).
事实上,设f(x)有周期T,则
有周期T的充要条件是,
.证明如下:
可见F(x+T)=F(x)的充要条件是
.证毕.
以下说明(A),(C),(D)均正确.
由f(x+T)=f(x)及f(x)可导,有f'(x+T)=f'(x).所以f'(x)有周期T,(A)正确.
(C)中的被积函数是£的周期函数,且周期为T,由以上证明,知
以T为周期的充要条件是
而该积分中的被积函数f(t)-f(-t)是关于t的奇函数,
成立,所以(C)正确.
(D)中令
,有
所以F(x)以T为周期,(D)正确.
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考研数学一
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