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设二阶常系数非齐次线性微分方程y〞+y′+qy=Q(χ)有特解y=3e-4χ+χ2+3χ+2,则Q(χ)=_______,该微分方程的通解为_______.
设二阶常系数非齐次线性微分方程y〞+y′+qy=Q(χ)有特解y=3e-4χ+χ2+3χ+2,则Q(χ)=_______,该微分方程的通解为_______.
admin
2018-05-17
79
问题
设二阶常系数非齐次线性微分方程y〞+y′+qy=Q(χ)有特解y=3e
-4χ
+χ
2
+3χ+2,则Q(χ)=_______,该微分方程的通解为_______.
选项
答案
Q(χ)=-12χ
2
-34χ-19;y=C
1
e
-4χ
+C
2
e
3χ
+χ
2
+3χ+2(其中C
1
,C
2
为任意常数)
解析
显然λ=-4是特征方程λ
2
+λ+q=0的解,故q=-12,
即特征方程为λ
2
+λ-12=0,特征值为λ
1
=-4,λ
2
=3.
因为χ
3
+3χ+2为特征方程y〞+y′-12y=Q(χ)的一个特解,
所以Q(χ)=2+2χ+3-12(χ
2
+3χ+2)=-12χ
2
-34χ-19,
且通解为yy=C
1
e
-4χ
+C
2
e
3χ
+χ
2
+3χ+2(其中C
1
,C
2
为任意常数).
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