2. 考研
  3. (2001年试题，十二)已知α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax=0的一个基础解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα4，β4=α4+tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2β3，β4，卢4也是．Ax=0的一个基础解系．

(2001年试题，十二)已知α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax=0的一个基础解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα4，β4=α4+tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2β3，β4，卢4也是．Ax=0的一个基础解系．

admin2013-12-18  126
问题 (2001年试题，十二)已知α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax=0的一个基础解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα4，β4=α4+tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2β3，β4，卢4也是．Ax=0的一个基础解系．
选项
答案本题考查一个向量组成其为一个线性方程组的基础解系的充分必要条件，即该向量组的所有向量线性无关，且都是原方程组的解，同时该向量组中向量的个数等于原方程组的解空间的维数．由题设，α1，α2，α3，α4Ax是Ax=0的基础解系，则Ax=0的解空间维数是4，又β1，β2，β3，β4都是α1，α2，α3，α4的线性组合，所以β1，β2，β3，β4，Ax都是Ax=0的解，至此只需讨论β1，β2，β3，β4是否线性无关即可．设k1β1+k2β2+k3β3+k4β4=0．(1)将题设中βi的表达式代入式(1)并化简得(k1+tk4)α1+(k2+tk1)α2+(k3+tk2)α3+(k4+tk3)α4=0，已知α1，α2，α3，α4线性无关，因此有[*](2)记方程组(2)的系数行列式为B，则[*]因此β1，β2，β3，β4为Ax=0的一个基础解系的充要条件是β1，β2，β3，β4线性无关，也即(2)只有零解，即B≠0，所以当1一t4≠0，即t≠±1时满足条件.
解析 本题考查基础解系的问题，设η1，η2，……ηt是Ax=0的基础解系，即η1，η2，……ηt是Ax=0的解，并且η1，η2，……ηt线性无关，Ax=0的任一解都可由η1，η2，……ηt线性表出，则k1η1，k2η2，……ktηt是Ax=0的通解，其中k1，k2，……kt基础解系中解向量的个数是n—rA，且n—rA也是每个解．
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考研数学二

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