设A、B的行数都是m，证明：矩阵方程AX=B有解的充要条件是r(A)=r(A┊B)．

admin2019-07-23 10

问题设A、B的行数都是m，证明：矩阵方程AX=B有解的充要条件是r(A)=r(A┊B)．

选项

答案设矩阵A、X、B按列分块分别为：A=[α₁ … α_n]，X=[x₁ … x_n]，B=[b₁ … b_n]，则Ax=B→[Ax₁ … Ax_n]=[b₁ … b_n]→Ax_j=b_j(j=1，…，p)→向量b_j可由A的列向量组线性表示→矩阵A=[α₁ … α_n]与矩阵[A┆B]=[α₁ … α_n┆b₁ … b_n]的列向量组等价→r(A)=r[A┆B]．以上用到了：等价的向量组必同秩；反之，若向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)同秩，且(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，则(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．

解析

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考研数学一

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