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设A、B的行数都是m,证明:矩阵方程AX=B有解的充要条件是r(A)=r(A┊B).
设A、B的行数都是m,证明:矩阵方程AX=B有解的充要条件是r(A)=r(A┊B).
admin
2019-07-23
15
问题
设A、B的行数都是m,证明:矩阵方程AX=B有解的充要条件是r(A)=r(A┊B).
选项
答案
设矩阵A、X、B按列分块分别为:A=[α
1
… α
n
],X=[x
1
… x
n
],B=[b
1
… b
n
],则Ax=B→[Ax
1
… Ax
n
]=[b
1
… b
n
]→Ax
j
=b
j
(j=1,…,p)→向量b
j
可由A的列向量组线性表示→矩阵A=[α
1
… α
n
]与矩阵[A┆B]=[α
1
… α
n
┆b
1
… b
n
]的列向量组等价→r(A)=r[A┆B]. 以上用到了:等价的向量组必同秩;反之,若向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)同秩,且(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示,则(Ⅰ)与(Ⅱ)等价.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/X5c4777K
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考研数学一
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