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  3. 设fn(χ)＝Cn1cosχ－Cn2cos2χ＋…＋(－1)n-1Cnncosnχ，证明：对任意自然数n，方程fn(χ)＝在区间(0，)内有且仅有一个根．

设fn(χ)＝Cn1cosχ－Cn2cos2χ＋…＋(－1)n-1Cnncosnχ，证明：对任意自然数n，方程fn(χ)＝在区间(0，)内有且仅有一个根．

admin2021-11-09  60
问题 设fn(χ)＝Cn1cosχ－Cn2cos2χ＋…＋(－1)n-1Cnncosnχ，证明：对任意自然数n，方程fn(χ)＝在区间(0，)内有且仅有一个根．
选项
答案由fn(χ)＝Cn1cosχ－Cn2cos2＋…＋(－1)n-1cosnχ得 fn(χ)＝1－(1－cosχ)n， 令g(χ)＝fn(χ)－[*]－(1－cosχ)n， [*] 由零点定理，存在c∈(0，[*])，使得g(c)＝0， 即方程fn(χ)＝[*]在(0，[*])内至少要有一个根． 因为g′(χ)＝－n(1－cosχ)n-1.sinχ＜0(0＜χ＜[*])， 所以g(χ)在(0，[*])内有唯一的零点，从而方程fn(χ)＝[*]在(0，[*])内有唯一根．
解析
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考研数学二

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