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设fn(χ)=Cn1cosχ-Cn2cos2χ+…+(-1)n-1Cnncosnχ,证明:对任意自然数n,方程fn(χ)=在区间(0,)内有且仅有一个根.
设fn(χ)=Cn1cosχ-Cn2cos2χ+…+(-1)n-1Cnncosnχ,证明:对任意自然数n,方程fn(χ)=在区间(0,)内有且仅有一个根.
admin
2021-11-09
55
问题
设f
n
(χ)=C
n
1
cosχ-C
n
2
cos
2
χ+…+(-1)
n-1
C
n
n
cos
n
χ,证明:对任意自然数n,方程f
n
(χ)=
在区间(0,
)内有且仅有一个根.
选项
答案
由f
n
(χ)=C
n
1
cosχ-C
n
2
cos
2
+…+(-1)
n-1
cos
n
χ得 f
n
(χ)=1-(1-cosχ)
n
, 令g(χ)=f
n
(χ)-[*]-(1-cosχ)
n
, [*] 由零点定理,存在c∈(0,[*]),使得g(c)=0, 即方程f
n
(χ)=[*]在(0,[*])内至少要有一个根. 因为g′(χ)=-n(1-cosχ)
n-1
.sinχ<0(0<χ<[*]), 所以g(χ)在(0,[*])内有唯一的零点,从而方程f
n
(χ)=[*]在(0,[*])内有唯一根.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/X5y4777K
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考研数学二
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