2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]_上二阶可导，且f’(a)＝f’(b)＝0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得｜f”(ξ)｜≥｜f(b)－f(a)｜·

设f(x)在[a，b]_上二阶可导，且f’(a)＝f’(b)＝0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得｜f”(ξ)｜≥｜f(b)－f(a)｜·

admin2019-11-25  98
问题 设f(x)在[a，b]_上二阶可导，且f’(a)＝f’(b)＝0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得｜f”(ξ)｜≥｜f(b)－f(a)｜·
选项
答案由泰勒公式得 f([*])＝f(a)＋f’(a)([*]－a)＋[*]([*]－a)2，ξ1∈(a，[*])， f([*])＝f(b)＋f’(b)([*]－b)＋[*]([*]－b)2，ξ2∈([*]，b)， 即f([*])＝f(a)＋[*]f”(ξ1)，f([*])＝f(b)＋[*]f”(ξ2)， 两式相减得f(b)－f(a)＝[*][f”(ξ1)－f”(ξ2)]， 取绝对值得｜f(b)－f(a)｜≤[*][ ｜f”(ξ1)｜＋｜f”(ξ2)｜]． (1)当f”(ξ1)｜≥｜f”(ξ2)｜时，取ξ＝ξ1，则有｜f”(ξ)｜≥[*]｜f(b)－f(a)｜； (2)当｜f”(ξ1)｜＜｜f”(ξ2)｜时，取ξ＝ξ2，则有｜f”(ξ)｜≥[*]｜f(b)－f(a)｜．
解析
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考研数学三

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