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设f(x)在[a,b]_上二阶可导,且f’(a)=f’(b)=0.证明:存在ξ∈(a,b),使得|f”(ξ)|≥|f(b)-f(a)|·
设f(x)在[a,b]_上二阶可导,且f’(a)=f’(b)=0.证明:存在ξ∈(a,b),使得|f”(ξ)|≥|f(b)-f(a)|·
admin
2019-11-25
69
问题
设f(x)在[a,b]_上二阶可导,且f’(a)=f’(b)=0.证明:存在ξ∈(a,b),使得|f”(ξ)|≥
|f(b)-f(a)|·
选项
答案
由泰勒公式得 f([*])=f(a)+f’(a)([*]-a)+[*]([*]-a)
2
,ξ
1
∈(a,[*]), f([*])=f(b)+f’(b)([*]-b)+[*]([*]-b)
2
,ξ
2
∈([*],b), 即f([*])=f(a)+[*]f”(ξ
1
),f([*])=f(b)+[*]f”(ξ
2
), 两式相减得f(b)-f(a)=[*][f”(ξ
1
)-f”(ξ
2
)], 取绝对值得|f(b)-f(a)|≤[*][ |f”(ξ
1
)|+|f”(ξ
2
)|]. (1)当f”(ξ
1
)|≥|f”(ξ
2
)|时,取ξ=ξ
1
,则有|f”(ξ)|≥[*]|f(b)-f(a)|; (2)当|f”(ξ
1
)|<|f”(ξ
2
)|时,取ξ=ξ
2
,则有|f”(ξ)|≥[*]|f(b)-f(a)|.
解析
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考研数学三
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