设f(x)连续，x∈[0,a]且∫0af(x)dx=,求∫0adx∫xaf(x)f(y)dy.

admin2022-03-23 39

问题设f(x)连续，x∈[0,a]且∫₀^af(x)dx=

,求∫₀^adx∫_x^af(x)f(y)dy.

选项

答案方法一： ∫₀^adx∫_x^af(x)f(y)dy=∫₀^af(x)dx∫_x^af(y)dy=∫₀^af(y)dy∫₀^yf(x)dx =∫₀^af(x)dx∫₀^xf(y)dy=[*][∫₀^af(x)dx∫_x^af(y)dy+∫₀^af(x)dx∫₀^xf(y)dy] =[*]∫₀^af(x)dx∫₀^af(y)dy=[*][∫₀^af(x)dx]²=[*]([*])²=1 方法二：令F(x)=∫₀^af(y)dy,就有F’(x)=－f(x),于是 ∫₀^adx∫_x^af(x)f(y)dy=∫₀^af(x)dx∫_x^af(y)dy=－∫₀^aF(x)d[F(x)]=[*]｜₀^a=1

解析

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