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设f(x)是[0,1]上单调减少的正值连续函数,证明 ∫01xf2(x)dx.∫01f3(x)dx≥∫01f3(x)dx.∫01f2(x)dx, 即要证 I=∫01f2(x)dx.∫01f3(x)dx一∫01xf3(x)dx.∫01f2(x
设f(x)是[0,1]上单调减少的正值连续函数,证明 ∫01xf2(x)dx.∫01f3(x)dx≥∫01f3(x)dx.∫01f2(x)dx, 即要证 I=∫01f2(x)dx.∫01f3(x)dx一∫01xf3(x)dx.∫01f2(x
admin
2019-08-06
81
问题
设f(x)是[0,1]上单调减少的正值连续函数,证明
∫
0
1
xf
2
(x)dx.∫
0
1
f
3
(x)dx≥∫
0
1
f
3
(x)dx.∫
0
1
f
2
(x)dx,
即要证 I=∫
0
1
f
2
(x)dx.∫
0
1
f
3
(x)dx一∫
0
1
xf
3
(x)dx.∫
0
1
f
2
(x)dx≥0.
选项
答案
记I=∫
0
1
f
2
(x)dx.∫
0
1
f
3
(x)dx—∫
0
1
xf
3
(x)dx.∫
0
1
f
2
(x)dx,则由定积分与积分变量所 I=∫
0
1
xf
2
(x)dx.∫
0
1
f
3
(y)dy—∫
0
1
yf
3
(y)dy.∫
0
1
f
2
(x)dx =∫
0
1
∫
0
1
xf
2
(x)f
3
(y)dxdy—∫
0
1
∫
0
1
yf
3
(y)f
2
(x)dxdy =[*]f
2
(x)f
3
(y)(x一y)dxdy, ① 其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}. 由于积分区域D关于直线y=x对称,又有 I=[*]f
2
(y)f
3
(x)(y一x)dxdy. ② 由①式与②式相加,得 I=[*]f
2
(x)f
2
(y)(y一x)[f(x)一f(y)]dxdy. 由于f(x)单调减少,所以I≥0,即∫
0
1
f
2
(x)dx.∫
0
1
f
3
(x)dx≥∫
0
1
xf
3
(x)dx.∫
0
1
f
2
(x)dx.(*) 又f(x)取正值,故∫
0
1
xf
3
(x)dx>0,∫
0
1
f
3
(x)dx>0.用∫
0
1
xf
3
(x)dx与∫
0
1
f
3
(x)dx除(*)式,不等式得证。
解析
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0
考研数学三
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