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  3. 设f(x)是[0，1]上单调减少的正值连续函数，证明 ∫01xf2(x)dx．∫01f3(x)dx≥∫01f3(x)dx．∫01f2(x)dx， 即要证 I=∫01f2(x)dx．∫01f3(x)dx一∫01xf3(x)dx．∫01f2(x

设f(x)是[0，1]上单调减少的正值连续函数，证明 ∫01xf2(x)dx．∫01f3(x)dx≥∫01f3(x)dx．∫01f2(x)dx， 即要证 I=∫01f2(x)dx．∫01f3(x)dx一∫01xf3(x)dx．∫01f2(x

admin2019-08-06  56
问题 设f(x)是[0，1]上单调减少的正值连续函数，证明

    ∫01xf2(x)dx．∫01f3(x)dx≥∫01f3(x)dx．∫01f2(x)dx，
即要证    I=∫01f2(x)dx．∫01f3(x)dx一∫01xf3(x)dx．∫01f2(x)dx≥0．
选项
答案记I=∫01f2(x)dx．∫01f3(x)dx—∫01xf3(x)dx．∫01f2(x)dx，则由定积分与积分变量所 I=∫01xf2(x)dx．∫01f3(y)dy—∫01yf3(y)dy．∫01f2(x)dx =∫01∫01xf2(x)f3(y)dxdy—∫01∫01yf3(y)f2(x)dxdy =[*]f2(x)f3(y)(x一y)dxdy， ① 其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}． 由于积分区域D关于直线y=x对称，又有 I=[*]f2(y)f3(x)(y一x)dxdy． ② 由①式与②式相加，得 I=[*]f2(x)f2(y)(y一x)[f(x)一f(y)]dxdy． 由于f(x)单调减少，所以I≥0，即∫01f2(x)dx．∫01f3(x)dx≥∫01xf3(x)dx．∫01f2(x)dx．(*) 又f(x)取正值，故∫01xf3(x)dx＞0，∫01f3(x)dx＞0．用∫01xf3(x)dx与∫01f3(x)dx除(*)式，不等式得证。
解析
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考研数学三

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