设函数y(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二次可导,且满足其中函数p(x),q(x)与f(x)都在[a,b]上连续,且存在常数qn>0使得q(x)≥qn存存常数F>0使得|f(x)|≤F.求证:当x∈[a,b]时

admin2020-06-20  55

问题 设函数y(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二次可导,且满足其中函数p(x),q(x)与f(x)都在[a,b]上连续,且存在常数qn>0使得q(x)≥qn存存常数F>0使得|f(x)|≤F.求证:当x∈[a,b]时

选项

答案由y(x)在[a,b]上连续知y(x)在[a,b]上取得它的最大值与最小值,即存在x1∈[a,b]使得y(x1)是y(x)在[a,b]上的最大值,又存在x2∈[a,b]使得y(x2)是y(x)在[a,b]上的最小值.无妨设最大值y(x1)>0,而最小值y(x2)<0.由于y(a)=y(b)=0,可见x1∈(a,b),x2∈(a,b).由极大值的必要条件可得y(x1)=0,y’’(x1)≤0,从而在最大值点x=x1处有f(x1)=y’’(x1)+P(x1)y(x1)一q(x1)y(x1)=y’’(x1)一q(x1)y(x1)[*]q(x1)y(x1)=y’’(x1)一f(x1)≤一f(x1)[*]类似由极小值的必要条件可得y(x2)=0,y’’(x2)≥0,从而在最小值点x=x2处有f(x2)=y’’(x2)+P(x2)y(x2)一q(x2)y(x2)=y’’(x2)一q(x2)y(x2)[*]q(x2)y(x2)=y’’(x2)一f(x2)≥一f(x2)[*]综合以上的讨论即得当x∈[a,b]时有[*]

解析
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