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设函数y(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二次可导，且满足其中函数p(x)，q(x)与f(x)都在[a，b]上连续，且存在常数qn>0使得q(x)≥qn存存常数F>0使得｜f(x)｜≤F．求证：当x∈[a，b]时
设函数y(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二次可导，且满足其中函数p(x)，q(x)与f(x)都在[a，b]上连续，且存在常数qn>0使得q(x)≥qn存存常数F>0使得｜f(x)｜≤F．求证：当x∈[a，b]时
admin
2020-06-20
83
问题
设函数y(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二次可导，且满足
其中函数p(x)，q(x)与f(x)都在[a，b]上连续，且存在常数q
n
>0使得q(x)≥q
n
存存常数F>0使得｜f(x)｜≤F．求证：当x∈[a，b]时
选项
答案
由y(x)在[a，b]上连续知y(x)在[a，b]上取得它的最大值与最小值，即存在x
1
∈[a，b]使得y(x
1
)是y(x)在[a，b]上的最大值，又存在x
2
∈[a，b]使得y(x
2
)是y(x)在[a，b]上的最小值．无妨设最大值y(x
1
)>0，而最小值y(x
2
)<0．由于y(a)=y(b)=0，可见x
1
∈(a，b)，x
2
∈(a，b)．由极大值的必要条件可得y
’
(x
1
)=0，y
’’
(x
1
)≤0，从而在最大值点x=x
1
处有f(x
1
)=y
’’
(x
1
)+P(x
1
)y
’
(x
1
)一q(x
1
)y(x
1
)=y
’’
(x
1
)一q(x
1
)y(x
1
)[*]q(x
1
)y(x
1
)=y
’’
(x
1
)一f(x
1
)≤一f(x
1
)[*]类似由极小值的必要条件可得y
’
(x
2
)=0，y
’’
(x
2
)≥0，从而在最小值点x=x
2
处有f(x
2
)=y
’’
(x
2
)+P(x
2
)y
’
(x
2
)一q(x
2
)y(x
2
)=y
’’
(x
2
)一q(x
2
)y(x
2
)[*]q(x
2
)y(x
2
)=y
’’
(x
2
)一f(x
2
)≥一f(x
2
)[*]综合以上的讨论即得当x∈[a，b]时有[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/XLx4777K
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考研数学三
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