2. 考研
  3. 设函数y(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二次可导，且满足其中函数p(x)，q(x)与f(x)都在[a，b]上连续，且存在常数qn>0使得q(x)≥qn存存常数F>0使得｜f(x)｜≤F．求证：当x∈[a，b]时

设函数y(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二次可导，且满足其中函数p(x)，q(x)与f(x)都在[a，b]上连续，且存在常数qn>0使得q(x)≥qn存存常数F>0使得｜f(x)｜≤F．求证：当x∈[a，b]时

admin2020-06-20  57
问题 设函数y(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二次可导，且满足其中函数p(x)，q(x)与f(x)都在[a，b]上连续，且存在常数qn>0使得q(x)≥qn存存常数F>0使得｜f(x)｜≤F．求证：当x∈[a，b]时
选项
答案由y(x)在[a，b]上连续知y(x)在[a，b]上取得它的最大值与最小值，即存在x1∈[a，b]使得y(x1)是y(x)在[a，b]上的最大值，又存在x2∈[a，b]使得y(x2)是y(x)在[a，b]上的最小值．无妨设最大值y(x1)>0，而最小值y(x2)<0．由于y(a)=y(b)=0，可见x1∈(a，b)，x2∈(a，b)．由极大值的必要条件可得y’(x1)=0，y’’(x1)≤0，从而在最大值点x=x1处有f(x1)=y’’(x1)+P(x1)y’(x1)一q(x1)y(x1)=y’’(x1)一q(x1)y(x1)[*]q(x1)y(x1)=y’’(x1)一f(x1)≤一f(x1)[*]类似由极小值的必要条件可得y’(x2)=0，y’’(x2)≥0，从而在最小值点x=x2处有f(x2)=y’’(x2)+P(x2)y’(x2)一q(x2)y(x2)=y’’(x2)一q(x2)y(x2)[*]q(x2)y(x2)=y’’(x2)一f(x2)≥一f(x2)[*]综合以上的讨论即得当x∈[a，b]时有[*]
解析
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考研数学三

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