设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明： (1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵； (2)当｜ε｜充分小时，A＋εB仍是正定矩阵．

admin2019-02-26 77

问题设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明：
(1)存在可逆矩阵P，使得P^TAP，P^TBP都是对角矩阵；
(2)当｜ε｜充分小时，A＋εB仍是正定矩阵．

选项

答案(1)因为A正定，所以存在实可逆矩阵P₁，使得P₁^TAP₁＝E．作B₁＝P₁^TBP₁，则B仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵Q，使得Q^TB₁Q是对角矩阵．令P＝P₁Q，则 P^TAP＝Q^*P₁^TAP₁Q＝E，P^TBP＝Q^TP₁^TBP₁Q＝Q^TB₁Q．因此P即所求． (2)设对(1)中求得的可逆矩阵P，对角矩阵P^TBP对角线上的元素依次为λ₁，λ₃，…，λ_n，记 M＝max{｜λ₁｜，｜λ₂｜，…，｜λ_n｜}．则当｜ε｜＜1／M时，E＋εP^TBP仍是实对角矩阵，且对角线上元素1＋ελ_i＞0，i＝1，2，…，n．于是E＋εP^TBP正定，P^T(A＋εB)P＝E＋εP^TBP，因此A＋εB也正定．

解析

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考研数学一

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设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明： (1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵； (2)当｜ε｜充分小时，A＋εB仍是正定矩阵．

考研数学一

设则秩(AB)=______．

设则fz’(0，1)=___________．

函数y=ln(1-2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=______.

若为随机变量X的概率密度函数，则a=________．

设A是三阶矩阵，且|A|=4，则=___________．

设y=e-x-x3，则其反函数的导数x’(y)=_______．

随机从数集{1，2，3，4，5}中有返回的取出n个数X1，X2，…，Xn，则当n→∞时Xi依概率收敛于；依概率收敛于．

求曲面积分xdydz+xzdzdx，其中，∑：x2+y2+z2=1(z≥0)取上侧．

正项级数收敛的()

设A是n阶矩阵(n≥2)，证明：(Ⅰ)当n=2时，(A)=A；(Ⅱ)当n≥3时，(A)=｜A｜n-1A。

埃里克森的心理社会发展理论指出，5岁左右的学生开始学习知识并发展为人处世的能力，若发展不顺利，则会产生自卑感和失败感。（）

全冠试戴时检查邻面接触是否紧密的方法是

某慢性肾小球肾炎病人，肉眼可见血尿，血压26.2/14kPa(195/105mmHg)。哪项处理对该病人不适用()。

以下各选项中，属于积极财政政策的有()。

支付企业职工的工资均属于现金流量表中“经营活动产生的现金流量”。()

线性空间R3中，已知向量=(1，2，1)，=(2，1，4)，=(0，－3，2)，记V1={λ|λ，μ∈R}，V2={k|k∈R}，令V3={t1η1+t2η2|t1，t2∈R，η1∈V1，η2∈V2}．求子空间V3的维数；

NNW

A．ImportanceofstayingintellectuallyactiveB．Effectsofagingonaperson’srecallabilityC．Short-termmemoryversuslong-te

Toachorusofangryshoutsandinsults,a【C1】______(wealth)Chicagocouplehavebeenchargedwithchildcrueltyafterleaving

设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明： (1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵； (2)当｜ε｜充分小时，A＋εB仍是正定矩阵．

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设则秩(AB)=______．

设则fz’(0，1)=___________．

函数y=ln(1-2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=______.

若为随机变量X的概率密度函数，则a=________．

设A是三阶矩阵，且|A|=4，则=___________．

设y=e-x-x3，则其反函数的导数x’(y)=_______．

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设A是n阶矩阵(n≥2)，证明：(Ⅰ)当n=2时，(A*)*=A；(Ⅱ)当n≥3时，(A*)*=｜A｜n-1A。

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随机从数集{1，2，3，4，5}中有返回的取出n个数X1，X2，…，Xn，则当n→∞时Xi依概率收敛于；依概率收敛于．

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