设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明： (1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵； (2)当｜ε｜充分小时，A＋εB仍是正定矩阵．

admin2019-02-26 26

问题设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明：
(1)存在可逆矩阵P，使得P^TAP，P^TBP都是对角矩阵；
(2)当｜ε｜充分小时，A＋εB仍是正定矩阵．

选项

答案(1)因为A正定，所以存在实可逆矩阵P₁，使得P₁^TAP₁＝E．作B₁＝P₁^TBP₁，则B仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵Q，使得Q^TB₁Q是对角矩阵．令P＝P₁Q，则 P^TAP＝Q^*P₁^TAP₁Q＝E，P^TBP＝Q^TP₁^TBP₁Q＝Q^TB₁Q．因此P即所求． (2)设对(1)中求得的可逆矩阵P，对角矩阵P^TBP对角线上的元素依次为λ₁，λ₃，…，λ_n，记 M＝max{｜λ₁｜，｜λ₂｜，…，｜λ_n｜}．则当｜ε｜＜1／M时，E＋εP^TBP仍是实对角矩阵，且对角线上元素1＋ελ_i＞0，i＝1，2，…，n．于是E＋εP^TBP正定，P^T(A＋εB)P＝E＋εP^TBP，因此A＋εB也正定．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/XQ04777K

考研数学一

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明： (1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵； (2)当｜ε｜充分小时，A＋εB仍是正定矩阵．

考研数学一

设f(x)=在(-∞，+∞)内连续，则a=__，b=_．

已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作4次独立重复观察，观察值X+Y不超过1出现的次数为Z，则EZ2=_______．

设η为非零向量，A=，η为方程组AX=0的解，则A=，方程组的通解为．

设A为三阶非零矩阵，B＝，且AB＝0，则Ax＝0的通解是______．

已知f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x，y满足f(x+y)=eyf(x)+exf(y)，又f(x)在点x=0处可导，且f’(0)=e，则f(x)=_______．

设un(x)满足un’(x)=un(x)+(n=1，2，…)，且un(1)=的和函数．

设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内三阶可导，且f(1)=1，f(2)=6．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f"’(ξ)=9．

设A为二阶矩阵，且A的每行元素之和为4，且|E+A|=0，则|2E+A2|为()．

设n阶矩阵A和B满足A+2B=AB。(Ⅰ)证明：A-2E为可逆矩阵，其中E为n阶单位矩阵；(Ⅱ)证明：AB=BA；(Ⅲ)已知B=，求矩阵A。

判断矩阵A=是否可相似对角化。

对下列违法行为，应当从重处罚的是（）。

某企业于2007年5月31日接到当地环境保护局的行政处罚通知书，但其不服，为维护自身合法权益，按照《环境保护法》的规定，该企业可以(　　　)。

电信设备顶部应与列架上梁加固，对于()的抗震设防，必须用抗震夹板或螺栓加固。

中年期人格“男女同化”是指()。

有人大器晚成，有人聪明早慧；有人侧重于理科，有人偏爱文学。这说明人的心理发展具有()特点。

Justsevenyearsago,theJarvik-7artificialheartwasbeingcheeredasthemodelofhumancreativeness.ThesightofBarneyCl

Whatdoesthenewsitemmainlytalkabout?

A、Payexcessbaggagefee.B、Hand-carryhisgolfclubs.C、Repackhisbaggage.D、Leavesomethingintheairportlocker.A

Thispersonalwaysgavestudentsthefeelingthathehadhigh.expectationsofthem，andthenallofthestudentsdidtheirbest

设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明： (1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵； (2)当｜ε｜充分小时，A＋εB仍是正定矩阵．

考研数学一

设f(x)=在(-∞，+∞)内连续，则a=______，b=_____．

已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作4次独立重复观察，观察值X+Y不超过1出现的次数为Z，则EZ2=_______．

设η为非零向量，A=，η为方程组AX=0的解，则A=________，方程组的通解为________．

设A为三阶非零矩阵，B＝，且AB＝0，则Ax＝0的通解是______．

已知f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x，y满足f(x+y)=eyf(x)+exf(y)，又f(x)在点x=0处可导，且f’(0)=e，则f(x)=_______．

设un(x)满足un’(x)=un(x)+(n=1，2，…)，且un(1)=的和函数．

设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内三阶可导，且f(1)=1，f(2)=6．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f"’(ξ)=9．

设A为二阶矩阵，且A的每行元素之和为4，且|E+A|=0，则|2E+A2|为()．

设n阶矩阵A和B满足A+2B=AB。(Ⅰ)证明：A-2E为可逆矩阵，其中E为n阶单位矩阵；(Ⅱ)证明：AB=BA；(Ⅲ)已知B=，求矩阵A。

判断矩阵A=是否可相似对角化。

对下列违法行为，应当从重处罚的是（）。

某企业于2007年5月31日接到当地环境保护局的行政处罚通知书，但其不服，为维护自身合法权益，按照《环境保护法》的规定，该企业可以( )。

电信设备顶部应与列架上梁加固，对于()的抗震设防，必须用抗震夹板或螺栓加固。

中年期人格“男女同化”是指()。

有人大器晚成，有人聪明早慧；有人侧重于理科，有人偏爱文学。这说明人的心理发展具有()特点。

Justsevenyearsago,theJarvik-7artificialheartwasbeingcheeredasthemodelofhumancreativeness.ThesightofBarneyCl

Whatdoesthenewsitemmainlytalkabout?

A、Payexcessbaggagefee.B、Hand-carryhisgolfclubs.C、Repackhisbaggage.D、Leavesomethingintheairportlocker.A

Thispersonalwaysgavestudentsthefeelingthathehadhigh.expectationsofthem，andthenallofthestudentsdidtheirbest

设f(x)=在(-∞，+∞)内连续，则a=__，b=_．

设η为非零向量，A=，η为方程组AX=0的解，则A=，方程组的通解为．

某企业于2007年5月31日接到当地环境保护局的行政处罚通知书，但其不服，为维护自身合法权益，按照《环境保护法》的规定，该企业可以(　　　)。