设A,B是两个n阶实对称矩阵,并且A正定.证明: (1)存在可逆矩阵P,使得PTAP,PTBP都是对角矩阵; (2)当|ε|充分小时,A+εB仍是正定矩阵.

admin2019-02-26  57

问题 设A,B是两个n阶实对称矩阵,并且A正定.证明:
    (1)存在可逆矩阵P,使得PTAP,PTBP都是对角矩阵;
    (2)当|ε|充分小时,A+εB仍是正定矩阵.

选项

答案(1)因为A正定,所以存在实可逆矩阵P1,使得P1TAP1=E.作B1=P1TBP1,则B仍是实对称矩阵,从而存在正交矩阵Q,使得QTB1Q是对角矩阵.令P=P1Q,则 PTAP=Q*P1TAP1Q=E,PTBP=QTP1TBP1Q=QTB1Q.因此P即所求. (2)设对(1)中求得的可逆矩阵P,对角矩阵PTBP对角线上的元素依次为λ1,λ3,…,λn,记 M=max{|λ1|,|λ2|,…,|λn|}. 则当|ε|<1/M时,E+εPTBP仍是实对角矩阵,且对角线上元素1+ελi>0,i=1,2,…,n.于是E+εPTBP正定,PT(A+εB)P=E+εPTBP,因此A+εB也正定.

解析
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