2. 考研
  3. [2005年] 已知二次型 f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1，x2的秩为2． 求正交变换X=QY，把f(x1，x2，x3)化成标准形；

[2005年] 已知二次型 f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1，x2的秩为2． 求正交变换X=QY，把f(x1，x2，x3)化成标准形；

admin2021-01-19  65
问题 [2005年]  已知二次型
f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1，x2的秩为2．
求正交变换X=QY，把f(x1，x2，x3)化成标准形；
选项
答案由A=[*]得到其特征方程为 ∣λE—A∣=[*]=λ(λ一2)2=0， 因而其特征值为λ1=λ2=2，λ3=0．解(λE—A)X=0．由 λ1E一A=[*] 知，属于λ1=λ2=2的特征向量为α1=[1，1，0]T，α2=[0，0，l]T．解(λ3E—A)X=0．由 λ3E一A=[*] 知，属于λ2=0的特征向量为α3=[1，一1，0]T．由于α1，α2已正交，且α3又必与α1，α2正交， 故α1，α2，α3已是正交向量组，只需单位化，得到 η1=[1／√2，1／√2，0]T，η2=[0，0，1]T，η3=[1／√2，一1／√2，0]T 令Q=[η1，η2，η3]，则X=QY为所求的正交变换，二次型f在此变换下，化为标准形 f(x1，x2，x3)=λ1y12+λ2 y22+λ3y32=2y12+2y22．
解析
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考研数学二

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