[2005年] 已知二次型 f(x1,x2,x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1,x2的秩为2. 求正交变换X=QY,把f(x1,x2,x3)化成标准形;

admin2021-01-19  37

问题 [2005年]  已知二次型
f(x1,x2,x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1,x2的秩为2.
求正交变换X=QY,把f(x1,x2,x3)化成标准形;

选项

答案由A=[*]得到其特征方程为 ∣λE—A∣=[*]=λ(λ一2)2=0, 因而其特征值为λ12=2,λ3=0.解(λE—A)X=0.由 λ1E一A=[*] 知,属于λ12=2的特征向量为α1=[1,1,0]T,α2=[0,0,l]T.解(λ3E—A)X=0.由 λ3E一A=[*] 知,属于λ2=0的特征向量为α3=[1,一1,0]T.由于α1,α2已正交,且α3又必与α1,α2正交, 故α1,α2,α3已是正交向量组,只需单位化,得到 η1=[1/√2,1/√2,0]T,η2=[0,0,1]T,η3=[1/√2,一1/√2,0]T 令Q=[η1,η2,η3],则X=QY为所求的正交变换,二次型f在此变换下,化为标准形 f(x1,x2,x3)=λ1y122 y223y32=2y12+2y22

解析
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