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[2005年] 已知二次型 f(x1,x2,x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1,x2的秩为2. 求正交变换X=QY,把f(x1,x2,x3)化成标准形;
[2005年] 已知二次型 f(x1,x2,x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1,x2的秩为2. 求正交变换X=QY,把f(x1,x2,x3)化成标准形;
admin
2021-01-19
52
问题
[2005年] 已知二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)=(1一a)x
1
2
+(1一a)x
2
2
+2x
3
2
+2(1+a)x
1
,x
2
的秩为2.
求正交变换X=QY,把f(x
1
,x
2
,x
3
)化成标准形;
选项
答案
由A=[*]得到其特征方程为 ∣λE—A∣=[*]=λ(λ一2)
2
=0, 因而其特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=0.解(λE—A)X=0.由 λ
1
E一A=[*] 知,属于λ
1
=λ
2
=2的特征向量为α
1
=[1,1,0]
T
,α
2
=[0,0,l]
T
.解(λ
3
E—A)X=0.由 λ
3
E一A=[*] 知,属于λ
2
=0的特征向量为α
3
=[1,一1,0]
T
.由于α
1
,α
2
已正交,且α
3
又必与α
1
,α
2
正交, 故α
1
,α
2
,α
3
已是正交向量组,只需单位化,得到 η
1
=[1/√2,1/√2,0]
T
,η
2
=[0,0,1]
T
,η
3
=[1/√2,一1/√2,0]
T
令Q=[η
1
,η
2
,η
3
],则X=QY为所求的正交变换,二次型f在此变换下,化为标准形 f(x
1
,x
2
,x
3
)=λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+λ
3
y
3
2
=2y
1
2
+2y
2
2
.
解析
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考研数学二
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