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设f(χ)在区间[0,1]上可导,f(1)=2χ2f(χ)dχ.证明:存在ξ∈(0,1),使得2f(ξ)+ξf′(ξ)=0.
设f(χ)在区间[0,1]上可导,f(1)=2χ2f(χ)dχ.证明:存在ξ∈(0,1),使得2f(ξ)+ξf′(ξ)=0.
admin
2019-06-28
43
问题
设f(χ)在区间[0,1]上可导,f(1)=2
χ
2
f(χ)dχ.证明:存在ξ∈(0,1),使得2f(ξ)+ξf′(ξ)=0.
选项
答案
令φ(χ)=χ
2
f(χ),由积分中值定理得f(1)=2[*]χ
2
f(χ)dχ=c
2
f(c),其中c∈[0,[*]],即φ(c)=φ(1),显然φ(χ)在区间[0,1]上可导,由罗尔中值定理,存在ξ∈(c,1)[*](0,1),使得φ′(ξ)=0.而φ′(χ)=2χf(χ)+χ2
2
f′(χ),所以2ξf(ξ)+ξ
2
f′(ξ)=0,注意到ξ≠0,故2f(ξ)+ξf′(ξ)=0.
解析
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考研数学二
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