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设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组Ax=0. (Ⅰ)如A中每行元素之和均为0,且r(A)=n一1,则方程组的通解是___________; (Ⅱ)如每个n维向量都是方程组的解,则r(A)=___________; (Ⅲ)如r(A)=n一1,且代数余子式A1
设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组Ax=0. (Ⅰ)如A中每行元素之和均为0,且r(A)=n一1,则方程组的通解是___________; (Ⅱ)如每个n维向量都是方程组的解,则r(A)=___________; (Ⅲ)如r(A)=n一1,且代数余子式A1
admin
2020-03-10
17
问题
设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组Ax=0.
(Ⅰ)如A中每行元素之和均为0,且r(A)=n一1,则方程组的通解是___________;
(Ⅱ)如每个n维向量都是方程组的解,则r(A)=___________;
(Ⅲ)如r(A)=n一1,且代数余子式A
11
≠0,则Ax=0的通解是_________,A
*
x=0的通解是__________,(A
*
)
*
x=0的通解是___________.
选项
答案
(Ⅰ)k(1,1,…,1)
T
. (Ⅱ)0 (Ⅲ)k(A
11
,A
12
,…,A
1n
)
T
k
1
e
1
+k
2
e
2
+…+k
n
e
n
k[*]
解析
(Ⅰ)从r(A)=n一1知Ax=0的基础解系由1个解向量组成,因此任一非零解都可成为基础解系.因为每行元素之和都为0,有
a
i1
+a
i2
+…+a
in
=1.a
i1
+1.a
i2
+…+1.a
in
=0,
所以,(1,1,…,1)
T
满足每一个方程,是Ax=0的解,故通解是k(1,1,…,1)
T
.
(Ⅱ)每个n维向量都是解,因而有n个线性无关的解,那么解空间的维数是n,又因解空间维数是n—r(A),故n=n—r(A),即 r(A)=0.
(Ⅲ)对Ax=0,从r(A)=n一1知基础解系由1个解向量所构成.因为AA
*
=|A|E=0,A
*
的每一列都是Ax=0的解.现已知A
11
≠0,故(A
11
,A
12
,…,A
1n
)
T
是Ax=0非零解,即是基础解系,所以通解是k(A
11
,A
12
,…,A
1n
)
T
.
对A
*
x=0,从r(A)=n一1知r(A
*
)=1,那么A
*
x=0的基础解系由n—r(A
*
)=n一1个向量所构成,从A
*
A=0知A的每一列都是A
*
x=0的解,由于代数余子式A
11
≠0,知,n一1维向量
(a
22
,a
32
,…,a
n2
)
T
,(a
22
,a
33
,…,a
n3
)
T
,…,(a
2n
,a
3n
,…,a
nn
)
T
线性无关,那么延伸为n维向量
(a
12
,a
22
,…,a
n2
)
T
,(a
13
,a
23
,…,a
n3
)
T
,…,(a
1n
,a
2n
,…,a
nn
)
T
仍线性无关,即是A
*
x=0的基础解系,.
对(A
*
)
*
x=0,同上知r(A
*
)=1,已知当n≥3时,r((A
*
)
*
)=0,那么任意n个线性无关的向量都可构成基础解系.例如,取
e
1
=(1,0,…,0)
T
,e
2
=(0,1,…,0)
T
,…,e
n
=(0,0,…,1)
T
,得通解k
1
e
1
+k
2
e
2
+…+k
n
e
n
.
如n=2,对于A=
=A.
那么(A
*
)
*
x=0的通解是k
(注:AA
*
=0,A
11
=a
22
≠0,r(A)=1).
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