2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组Ax=0． (Ⅰ)如A中每行元素之和均为0，且r(A)=n一1，则方程组的通解是___________； (Ⅱ)如每个n维向量都是方程组的解，则r(A)=___________； (Ⅲ)如r(A)=n一1，且代数余子式A1

设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组Ax=0． (Ⅰ)如A中每行元素之和均为0，且r(A)=n一1，则方程组的通解是___________； (Ⅱ)如每个n维向量都是方程组的解，则r(A)=___________； (Ⅲ)如r(A)=n一1，且代数余子式A1

admin2020-03-10  25
问题 设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组Ax=0．
(Ⅰ)如A中每行元素之和均为0，且r(A)=n一1，则方程组的通解是___________；
(Ⅱ)如每个n维向量都是方程组的解，则r(A)=___________；
(Ⅲ)如r(A)=n一1，且代数余子式A11≠0，则Ax=0的通解是_________，A*x=0的通解是__________，(A*)*x=0的通解是___________．
选项
答案(Ⅰ)k(1，1，…，1)T． (Ⅱ)0 (Ⅲ)k(A11，A12，…，A1n)T k1e1+k2e2+…+knen k[*]
解析 (Ⅰ)从r(A)=n一1知Ax=0的基础解系由1个解向量组成，因此任一非零解都可成为基础解系．因为每行元素之和都为0，有
ai1+ai2+…+ain=1.ai1+1.ai2+…+1.ain=0，
所以，(1，1，…，1)T满足每一个方程，是Ax=0的解，故通解是k(1，1，…，1)T．
(Ⅱ)每个n维向量都是解，因而有n个线性无关的解，那么解空间的维数是n，又因解空间维数是n—r(A)，故n=n—r(A)，即  r(A)=0．
(Ⅲ)对Ax=0，从r(A)=n一1知基础解系由1个解向量所构成．因为AA*=｜A｜E=0，A*的每一列都是Ax=0的解．现已知A11≠0，故(A11，A12，…，A1n)T是Ax=0非零解，即是基础解系，所以通解是k(A11，A12，…，A1n)T．
对A*x=0，从r(A)=n一1知r(A*)=1，那么A*x=0的基础解系由n—r(A*)=n一1个向量所构成，从A*A=0知A的每一列都是A*x=0的解，由于代数余子式A11≠0，知，n一1维向量
(a22，a32，…，an2)T，(a22，a33，…，an3)T，…，(a2n，a3n，…，ann)T
线性无关，那么延伸为n维向量
(a12，a22，…，an2)T，(a13，a23，…，an3)T，…，(a1n，a2n，…，ann)T
仍线性无关，即是A*x=0的基础解系，．
对(A*)*x=0，同上知r(A*)=1，已知当n≥3时，r((A*)*)=0，那么任意n个线性无关的向量都可构成基础解系．例如，取
e1=(1，0，…，0)T，e2=(0，1，…，0)T，…，en=(0，0，…，1)T，得通解k1e1+k2e2+…+knen．
如n=2，对于A==A．
那么(A*)*x=0的通解是k(注：AA*=0，A11=a22≠0，r(A)=1)．
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