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  3. 设n阶方阵A≠0，满足Am=0(其中m为某正整数)． 若方阵B满足AB=BA，证明：｜A+B｜=｜B｜．

设n阶方阵A≠0，满足Am=0(其中m为某正整数)． 若方阵B满足AB=BA，证明：｜A+B｜=｜B｜．

admin2017-06-14  23
问题 设n阶方阵A≠0，满足Am=0(其中m为某正整数)．
若方阵B满足AB=BA，证明：｜A+B｜=｜B｜．
选项
答案当方阵B可逆时，欲证的等式为 ｜A+B｜=｜B｜<=>｜B－1｜｜A+B｜=1<=>｜B－1A+E｜=1．利用上一题，要证｜B－1A+ E｜=1，只要证B－1A为幂零矩阵即可，等式AB=BA两端左乘B－1，得B－1AB=A，两端右 乘B－1，得B－1A=AB－1，即A与B－1可交换，故由Am=0，得(B－1A)m=(B－1)mAm=0，所以，当方阵B可逆时结论成立． 当B不可逆时，即｜B｜=0时，欲证的等式成为｜A+B｜=0．因为｜B｜=0，故B有特征值0，即存在非零列向量考，使Bξ=0，故对任意正整数K，有Bkξ=0．注意A与B可交换，有 [*] 即齐次线性方程组(A+B)mx=0有非零解x=ξ，故该方程组的系数行列式为零，即 ｜(A+B)｜m=｜A+B｜m=0， 故｜A+B｜=0，因此当B不可逆时结论也成立． 故得证．
解析
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考研数学一

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