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设n阶方阵A≠0,满足Am=0(其中m为某正整数). 若方阵B满足AB=BA,证明:|A+B|=|B|.
设n阶方阵A≠0,满足Am=0(其中m为某正整数). 若方阵B满足AB=BA,证明:|A+B|=|B|.
admin
2017-06-14
26
问题
设n阶方阵A≠0,满足A
m
=0(其中m为某正整数).
若方阵B满足AB=BA,证明:|A+B|=|B|.
选项
答案
当方阵B可逆时,欲证的等式为 |A+B|=|B|<=>|B
-1
||A+B|=1<=>|B
-1
A+E|=1.利用上一题,要证|B
-1
A+ E|=1,只要证B
-1
A为幂零矩阵即可,等式AB=BA两端左乘B
-1
,得B
-1
AB=A,两端右 乘B
-1
,得B
-1
A=AB
-1
,即A与B
-1
可交换,故由A
m
=0,得(B
-1
A)
m
=(B
-1
)
m
A
m
=0,所以,当方阵B可逆时结论成立. 当B不可逆时,即|B|=0时,欲证的等式成为|A+B|=0.因为|B|=0,故B有特征值0,即存在非零列向量考,使Bξ=0,故对任意正整数K,有B
k
ξ=0.注意A与B可交换,有 [*] 即齐次线性方程组(A+B)
m
x=0有非零解x=ξ,故该方程组的系数行列式为零,即 |(A+B)|
m
=|A+B|
m
=0, 故|A+B|=0,因此当B不可逆时结论也成立. 故得证.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/XZu4777K
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考研数学一
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