(2000年试题，十)设矩阵A的伴随矩阵且ABA-1=BA-1+3E，其中E为4阶单位矩阵，求矩阵B．

admin2013-12-27 32

问题 (2000年试题，十)设矩阵A的伴随矩阵

且ABA^-1=BA^-1+3E，其中E为4阶单位矩阵，求矩阵B．

选项

答案由题设ABA^-1=BA^-1+3E，两边左乘A^-1，有A^-1ABA^-1=A^-1BA^-1+3A^-1即BA^-1=A^-1BA^-1+3A^-1上式再由两边右乘A，有B=A^-1B+3E．又由公式A^*=｜A｜A^-1，即[*]代入上式，得[*]由[*]知｜A^*｜=8，且｜A｜｜A^*｜=｜A｜⁴知｜A^*｜=｜A｜³=8，因此｜A｜=2．从而[*]于是B=6(2E—A^*)^-1.E=6(2E—A^*)^-1易求得[*]所以[*]

解析本题也可先求出A及A^-1，再由B=A^-1B+3E，移项，即(E—A^-1)B=3E，B=3(E—A^-1)^-1求出同样结果．

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