求一个正交变换，化二次型f=x12+4x22+4x32-4x1x2-82x3为标准形．

admin2013-08-30 23

问题求一个正交变换，化二次型f=x₁²+4x₂²+4x₃²-4x₁x₂-8₂x₃为标准形．

选项

答案二次型的矩阵是A=[*] 其特征多项式为｜λE-A｜=[*] 所以A的特征值是λ₁=λ₂=0，λ₃=9．对于是λ₁=λ₂=0，由(OE-A)x=0，即[*] 得到基础解系a₁=(2，1，0)^T，a₂=(-2,0，1)^T，即为属于特征值λ=0的特征向量．对于λ₃=9，由(9E-A)x=0，即[*] 得到基础解系a₃=(1，-2，2)^T．由于不同特征值的特征向量已经正交，只需对a₁，a₂正交化． β₁=a₁=(2，1，0)^T， [*] 把β₁，β₂，a₁单位化，有r₁=[*] 那么经正交变换[*]，二次型f化为标准形f=9y₃²．

解析

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