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设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明: (Ⅰ)若|A|=0,则|A*|=0; (Ⅱ)|A*|=|A|n-1。
设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明: (Ⅰ)若|A|=0,则|A*|=0; (Ⅱ)|A*|=|A|n-1。
admin
2018-01-26
63
问题
设n阶矩阵A的伴随矩阵为A
*
,证明:
(Ⅰ)若|A|=0,则|A
*
|=0;
(Ⅱ)|A
*
|=|A|
n-1
。
选项
答案
(Ⅰ)(反证法)假设|A
*
|≠0,由矩阵可逆的充分必要条件可知A
*
是可逆矩阵,则有 A
*
(A
*
)-=E,因为由A
-1
=[*]A
*
,可知A
*
=A
-1
|A|,由此得 A=AE=AA
*
(A
*
)
-1
=|A|E(A
*
)
-1
=0, 所以A
*
=0。这与|A
*
|≠0矛盾,故当|A|=0时,有|A
*
|=0。 (Ⅱ)由于从AA
*
=|A|E,两端同时取行列式得 |A|A
*
|=|A|
n
。 当|A|≠0时,|A
*
|=|A|
n-1
; 当|A|=0时,|A
*
|=0。 综上,均有|A
*
|=|A|
n-1
成立。
解析
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考研数学一
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