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  3. 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明： (Ⅰ)若｜A｜=0，则｜A*｜=0； (Ⅱ)｜A*｜=｜A｜n-1。

设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明： (Ⅰ)若｜A｜=0，则｜A*｜=0； (Ⅱ)｜A*｜=｜A｜n-1。

admin2018-01-26  75
问题 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明：
(Ⅰ)若｜A｜=0，则｜A*｜=0；
(Ⅱ)｜A*｜=｜A｜n-1。
选项
答案(Ⅰ)(反证法)假设｜A*｜≠0，由矩阵可逆的充分必要条件可知A*是可逆矩阵，则有 A*(A*)-=E，因为由A-1=[*]A*，可知A*=A-1｜A｜，由此得 A=AE=AA*(A*)-1=｜A｜E(A*)-1=0， 所以A*=0。这与｜A*｜≠0矛盾，故当｜A｜=0时，有｜A*｜=0。 (Ⅱ)由于从AA*=｜A｜E，两端同时取行列式得 ｜A｜A*｜=｜A｜n。 当｜A｜≠0时，｜A*｜=｜A｜n-1； 当｜A｜=0时，｜A*｜=0。 综上，均有｜A*｜=｜A｜n-1成立。
解析
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考研数学一

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