设n阶矩阵A的伴随矩阵为A，证明： (Ⅰ)若｜A｜=0，则｜A｜=0； (Ⅱ)｜A*｜=｜A｜n-1。

admin2018-01-26 50

问题设n阶矩阵A的伴随矩阵为A^*，证明：
(Ⅰ)若｜A｜=0，则｜A^*｜=0；
(Ⅱ)｜A^*｜=｜A｜^n-1。

选项

答案(Ⅰ)(反证法)假设｜A^*｜≠0，由矩阵可逆的充分必要条件可知A^*是可逆矩阵，则有 A^*(A^*)-=E，因为由A^-1=[*]A^*，可知A^*=A^-1｜A｜，由此得 A=AE=AA^*(A^*)^-1=｜A｜E(A^*)^-1=0，所以A^*=0。这与｜A^*｜≠0矛盾，故当｜A｜=0时，有｜A^*｜=0。 (Ⅱ)由于从AA^*=｜A｜E，两端同时取行列式得｜A｜A^*｜=｜A｜ⁿ。当｜A｜≠0时，｜A^*｜=｜A｜^n-1；当｜A｜=0时，｜A^*｜=0。综上，均有｜A^*｜=｜A｜^n-1成立。

解析

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考研数学一

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