设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,.证明: 存在η∈(a,b),使得f"(η)-3f’(η)+2f(η)=0.

admin2019-09-23  23

问题 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,.证明:
存在η∈(a,b),使得f"(η)-3f’(η)+2f(η)=0.

选项

答案令g(x)=e-xf(x),g(a)=g(c)=g(b)=0,由罗尔定理,存在η1∈(a,c),η2∈(c,b),使得g’(η1)=g’(η2)=0,而g’(x)=e-x[f’(x)-f(x)]且e-x≠0,所以f’(η1)-f(η1)=0,f’(η2)-f(η2)=0,令Φ(x)=e-2x[f’(x)-f(x)],Φ(η1)=Φ(η2)=0,由罗尔定理,存在η∈(η1,η2)[*](a,b),使得Φ’(η)=0,而Φ’(x)=e-2x[f"(x)-3f’(x)+2f(x)]且e-2x≠0,所以f"(η)-3f’(η)+2f(η)=0.

解析
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