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  3. 下列命题正确的是( )

下列命题正确的是( )

admin2020-05-16  19
问题 下列命题正确的是(    )
选项 A、如果AB＝E，则矩阵A一定可逆，且A－1＝B。
B、如果A，B是n阶可逆矩阵，则AB也可逆，且(AB)－1＝B－1A－1。
C、如果A，B是n阶可逆矩阵，则A＋B也可逆，且(A＋B)－1＝B－1＋A－1。
D、如果A，B是n阶不可逆矩阵，则A－B一定不可逆。
答案B
解析 本题考查矩阵可逆的性质。只有针对方阵，才可以讨论其可逆性；两个n阶矩阵是否可逆对它们的和或差的矩阵的可逆性没有影响；两个可逆矩阵的乘积仍可逆。
对于选项A，没有指出A和B是否为方阵，因此不能确定A是否可逆，例如，满足AB＝E，但显然A不可逆，A选项错误；
    对于选项B，矩阵A，B可逆，则｜A｜≠0，｜B｜≠0，且｜AB｜＝｜A｜｜B｜≠0，因此AB可逆，且(AB)－1＝B－1A－1，B选项正确；
    对于选项C，如果矩阵A，B可逆，但A＝－B，则A＋B＝D，零矩阵不可逆，C选项错误；
对于选项D，设，显然A和B均不可逆，但是A－B是单位矩阵，单位矩阵可逆，D选项错误。故本题选B。
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考研数学三

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