设f(χ)在[0，1]上可微，且f(1)＝2f(χ)dχ．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝2ξf(ξ).

admin2022-10-09 79

问题设f(χ)在[0，1]上可微，且f(1)＝2

f(χ)dχ．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝2ξf(ξ).

选项

答案令φ(χ)＝[*]f(χ)，显然φ(χ)在[0，1]上可微，由积分中值定理得 f(1)＝[*]，从而e^-1f(1)＝e[*]f(c)，其中c∈[0，[*]]，于是φ(c)＝φ(1)．由罗尔定理，存在ξ∈(c，1)[*](0，1)，使得φ′(ξ)＝0．而φ′(χ)＝e[*]f′(χ)－2χe[*]f(χ)，所以[*]＝0，注意到[*]≠0，故f′(ξ)－2ξf(ξ)＝0，即f′(ξ)＝2ξf(ξ)．

解析

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