设f(x)为[0，1]上单调减少的连续函数，且f(x)＞0，试证：存在唯一的点ξ∈(0，1)，使得成立．

admin2021-02-25 30

问题设f(x)为[0，1]上单调减少的连续函数，且f(x)＞0，试证：存在唯一的点ξ∈(0，1)，使得

成立．

选项

答案令[*]，则F(x)在[0，1]上连续．又 [*] 由零点定理可知，至少存在一点ξ∈(0，1)，使F(ξ)=0，则有 [*] 下面用反证法证明ξ的唯一性，假设存在两个值ξ₁，ξ₂∈(0，1)满足上式(不妨设ξ₁＜ξ₂)，则f(ξ₂)-f(ξ₁)＜0，而 [*] 与F(ξ₂)-F(ξ₁)=0矛盾，于是有唯一的ξ∈(0，1)，使得[*]成立．

解析

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考研数学二

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(2010年)设函数u＝f(χ，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式＝0．确定a，b的值，使等式在变换ξ＝χ＋ay，η＝χ＋by下简化为＝0．
(13)设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT．(Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22.
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