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设f(x),g(x)满足f’(x)=g(x),g’(x)=2ex一f(x),且f(0)=0,g(0)=2. 求积分值
设f(x),g(x)满足f’(x)=g(x),g’(x)=2ex一f(x),且f(0)=0,g(0)=2. 求积分值
admin
2017-07-26
18
问题
设f(x),g(x)满足f’(x)=g(x),g’(x)=2e
x
一f(x),且f(0)=0,g(0)=2.
求积分值
选项
答案
由条件f’(x)=g(x),得f"(x)=g’(x)=2e
x
一f(x),即求解 [*] 齐次微分方程:特征方程为λ
2
+1=0,λ=±i,通解为 [*]=c
1
cosx+c
2
sinx. 其中c
1
,c
2
为任意常数. 非齐次微分方程:因为r=1不是特征方程的解,故设特解f
*
(x)=Ae
x
,则得A=1.于是,通解为 f(x)=c
1
cosx+c
2
sinx+e
x
. 将条件f(0)=0,g(0)=2代入到通解中,得特解f(x)=sinx—cosx+e
x
,其中c
1
=一1,c
2
=1.从而 [*]
解析
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考研数学三
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