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设f(x)是连续且单调递增的奇函数,设F(x)=,则F(x)是( )
设f(x)是连续且单调递增的奇函数,设F(x)=,则F(x)是( )
admin
2019-12-24
54
问题
设f(x)是连续且单调递增的奇函数,设F(x)=
,则F(x)是( )
选项
A、单调递增的奇函数。
B、单调递减的奇函数。
C、单调递增的偶函数。
D、单调递减的偶函数。
答案
B
解析
令x-u=t,则
令t=-u,
因为f(x)是奇函数,则
故F(x)=-F(-x)为奇函数。
由积分中值定理可得
,ξ介于0到x之间,则
F’(x)=f(ξ)x-xf(x)=[f(ξ)-f(x)]x,
因为f(x)单调递增,当x>0时,ξ∈[0,x],f(ξ)-f(x)<0,所以F’(x)<0,F(x)单调递减;当x<0时,ξ∈[x,0],f(ξ)-f(x)>0,所以F’(x)<0,F(x)单调递减。所以F(x)是单调递减的奇函数。
本题利用换元法比较F(x)与F(-x)的关系,判断其奇偶性,在判断其单调性的时候利用了积分中值定理。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Y1D4777K
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考研数学三
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