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  3. 设f(x)是连续且单调递增的奇函数，设F(x)＝，则F(x)是( )

设f(x)是连续且单调递增的奇函数，设F(x)＝，则F(x)是( )

admin2019-12-24  39
问题 设f(x)是连续且单调递增的奇函数，设F(x)＝，则F(x)是(      )
选项 A、单调递增的奇函数。
B、单调递减的奇函数。
C、单调递增的偶函数。
D、单调递减的偶函数。
答案B
解析 令x－u＝t，则

令t＝－u，

因为f(x)是奇函数，则

故F(x)＝－F(－x)为奇函数。

由积分中值定理可得，ξ介于0到x之间，则
F’(x)＝f(ξ)x－xf(x)＝[f(ξ)－f(x)]x，
因为f(x)单调递增，当x＞0时，ξ∈[0，x]，f(ξ)－f(x)＜0，所以F’(x)＜0，F(x)单调递减；当x＜0时，ξ∈[x，0]，f(ξ)－f(x)＞0，所以F’(x)＜0，F(x)单调递减。所以F(x)是单调递减的奇函数。
本题利用换元法比较F(x)与F(－x)的关系，判断其奇偶性，在判断其单调性的时候利用了积分中值定理。
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考研数学三

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