设随机变量(X，Y)服从区域D上的均匀分布，D={(x，y)︱0≤x≤2，0≤y≤2}，令U=(X+Y)2，试求EU与DU。

admin2018-11-16 44

问题设随机变量(X，Y)服从区域D上的均匀分布，D={(x，y)︱0≤x≤2，0≤y≤2}，令U=(X+Y)²，试求EU与DU。

选项

答案求一个随机变量U的数字特征，可以先求出U的概率密度，在计算EU与DU。方法一：令V=X+Y，先求V的分布函数F(ν)与密度函数f(ν)。 [*] 其中D₁与D₂如图所示，于是[*] [*] 故[*]，又[*]，因此[*]。方法二：直接应用随机变量函数的期望公式：若(X，Y)～f(x，y)，则有[*]。具体到本题f(x，y)= [*]。方法三：就本题具体条件可以判断该二维均匀分布随机变量(X，Y)的两个分量X与Y相互独立，且都服从区间[0，2]上均匀分布，因此有[*]，EU²=E(X+Y)⁴=EX⁴+4EX³Y+6EX²Y²+4EXY³+EY⁴。由于X与Y独立，因此X³与Y，X²与Y²，X与Y³也分别独立，其乘积的期望等于期望的乘积。 EU²=EX⁴+4EX³EY+6EX²EY²+4EXEY³+EY⁴=[*]，DU=EU²-(EU) ²=[*]。

解析

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考研数学三

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