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设随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,D={(x,y)︱0≤x≤2,0≤y≤2},令U=(X+Y)2,试求EU与DU。
设随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,D={(x,y)︱0≤x≤2,0≤y≤2},令U=(X+Y)2,试求EU与DU。
admin
2018-11-16
45
问题
设随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,D={(x,y)︱0≤x≤2,0≤y≤2},令U=(X+Y)
2
,试求EU与DU。
选项
答案
求一个随机变量U的数字特征,可以先求出U的概率密度,在计算EU与DU。 方法一:令V=X+Y,先求V的分布函数F(ν)与密度函数f(ν)。 [*] 其中D
1
与D
2
如图所示,于是[*] [*] 故[*], 又[*], 因此[*]。 方法二:直接应用随机变量函数的期望公式:若(X,Y)~f(x,y),则有[*]。 具体到本题f(x,y)= [*]。 方法三:就本题具体条件可以判断该二维均匀分布随机变量(X,Y)的两个分量X与Y相互独立,且都服从区间[0,2]上均匀分布,因此有[*],EU
2
=E(X+Y)
4
=EX
4
+4EX
3
Y+6EX
2
Y
2
+4EXY
3
+EY
4
。 由于X与Y独立,因此X
3
与Y,X
2
与Y
2
,X与Y
3
也分别独立,其乘积的期望等于期望的乘积。 EU
2
=EX
4
+4EX
3
EY+6EX
2
EY
2
+4EXEY
3
+EY
4
=[*],DU=EU
2
-(EU)
2
=[*]。
解析
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0
考研数学三
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