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  3. 设随机变量(X，Y)服从区域D上的均匀分布，D={(x，y)︱0≤x≤2，0≤y≤2}，令U=(X+Y)2，试求EU与DU。

设随机变量(X，Y)服从区域D上的均匀分布，D={(x，y)︱0≤x≤2，0≤y≤2}，令U=(X+Y)2，试求EU与DU。

admin2018-11-16  49
问题 设随机变量(X，Y)服从区域D上的均匀分布，D={(x，y)︱0≤x≤2，0≤y≤2}，令U=(X+Y)2，试求EU与DU。
选项
答案求一个随机变量U的数字特征，可以先求出U的概率密度，在计算EU与DU。 方法一：令V=X+Y，先求V的分布函数F(ν)与密度函数f(ν)。 [*] 其中D1与D2如图所示，于是[*] [*] 故[*]， 又[*]， 因此[*]。 方法二：直接应用随机变量函数的期望公式：若(X，Y)～f(x，y)，则有[*]。 具体到本题f(x，y)= [*]。 方法三：就本题具体条件可以判断该二维均匀分布随机变量(X，Y)的两个分量X与Y相互独立，且都服从区间[0，2]上均匀分布，因此有[*]，EU2=E(X+Y)4=EX4+4EX3Y+6EX2Y2+4EXY3+EY4。 由于X与Y独立，因此X3与Y，X2与Y2，X与Y3也分别独立，其乘积的期望等于期望的乘积。 EU2=EX4+4EX3EY+6EX2EY2+4EXEY3+EY4=[*]，DU=EU2-(EU) 2=[*]。
解析
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考研数学三

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