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设函数f(t)在[0,+∞)上连续,且满足方程f(t)=e4πt2+dxdy,试求f(t).
设函数f(t)在[0,+∞)上连续,且满足方程f(t)=e4πt2+dxdy,试求f(t).
admin
2016-10-26
47
问题
设函数f(t)在[0,+∞)上连续,且满足方程f(t)=e
4πt
2
+
dxdy,试求f(t).
选项
答案
先用极坐标变换将二重积分转化为定积分 [*] 代入原方程得 f(t)=e
4πt
2
+2π[*]rdr (t≥0). 两边对t求导得 f′(t)=8πte
4πt
2
+2π.f(t).2t.2,即 f′(t)一8πtf(t)=8πte
4πt
2
. ① 在前一个方程中令t=0得 f(0)=1. ② 求f(t)转化为求解初值问题①+②.这是一阶线性方程,两边乘e
-∫8πtdt
=e
-4πt
2
得 [e
-4πt
2
f(t)]′=8πt. 积分得 e
-4πt
2
f(t)=4πt
2
+C. 由f(0)=1得C=1.因此f(t)=(4πt
2
+1)e
4πt
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Y2u4777K
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考研数学一
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