设函数f(t)在[0，+∞)上连续，且满足方程f(t)=e4πt2+dxdy，试求f(t)．

admin2016-10-26 42

问题设函数f(t)在[0，+∞)上连续，且满足方程f(t)=e^4πt²+

dxdy，试求f(t)．

选项

答案先用极坐标变换将二重积分转化为定积分 [*] 代入原方程得 f(t)=e^4πt²+2π[*]rdr (t≥0)．两边对t求导得 f′(t)=8πte^4πt²+2π.f(t).2t.2，即 f′(t)一8πtf(t)=8πte^4πt²． ① 在前一个方程中令t=0得 f(0)=1． ② 求f(t)转化为求解初值问题①+②．这是一阶线性方程，两边乘e^－∫8πtdt=e^－4πt²得 [e^－4πt²f(t)]′=8πt．积分得 e^－4πt²f(t)=4πt²+C．由f(0)=1得C=1．因此f(t)=(4πt²+1)e^4πt²．

解析

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考研数学一

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