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设有n维向量组A:a1,a2,…,an,证明它们线性无关的充分必要条件是:任一n维向量都可由它们线性表示.
设有n维向量组A:a1,a2,…,an,证明它们线性无关的充分必要条件是:任一n维向量都可由它们线性表示.
admin
2021-02-25
88
问题
设有n维向量组A:a
1
,a
2
,…,a
n
,证明它们线性无关的充分必要条件是:任一n维向量都可由它们线性表示.
选项
答案
充分性([*]):若任一n维向量都可由a
1
,a
2
,…,a
n
线性表示,则n维单位坐标向量e
1
,e
2
,…,e
n
能由a
1
,a
2
,…,a
n
线性表示,则R(e
1
,e
2
,…,e
n
)≤R(a
1
,a
2
,…,a
n
),而R(e
1
,e
2
,…,e
n
)=n,R(a
1
,a
2
,…,a
n
)≤n,所以R(a
1
,a
2
,…,a
n
)=n,即向量组a
1
,a
2
,…,a
n
线性无关. 必要性([*]):任给一n维向量b,则n+1个向量a
1
,a
2
,…,a
n
,b线性相关,而a
1
,a
2
,…,a
n
线性无关,所以向量b可由向量a
1
,a
2
,…,a
n
线性表示.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Y484777K
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考研数学二
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