设有n维向量组A:a1,a2,…,an,证明它们线性无关的充分必要条件是:任一n维向量都可由它们线性表示.

admin2021-02-25  73

问题 设有n维向量组A:a1,a2,…,an,证明它们线性无关的充分必要条件是:任一n维向量都可由它们线性表示.

选项

答案充分性([*]):若任一n维向量都可由a1,a2,…,an线性表示,则n维单位坐标向量e1,e2,…,en能由a1,a2,…,an线性表示,则R(e1,e2,…,en)≤R(a1,a2,…,an),而R(e1,e2,…,en)=n,R(a1,a2,…,an)≤n,所以R(a1,a2,…,an)=n,即向量组a1,a2,…,an线性无关. 必要性([*]):任给一n维向量b,则n+1个向量a1,a2,…,an,b线性相关,而a1,a2,…,an线性无关,所以向量b可由向量a1,a2,…,an线性表示.

解析
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