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设4阶矩阵A=(α1,α2,α3,α4),方程组Ax=β的通解为(1,2,2,1)T+c(1,-2,4,0)T,c为任意。记B=(α3,α2,α1,β-α4),求方程组Bx=α1-α2的通解。
设4阶矩阵A=(α1,α2,α3,α4),方程组Ax=β的通解为(1,2,2,1)T+c(1,-2,4,0)T,c为任意。记B=(α3,α2,α1,β-α4),求方程组Bx=α1-α2的通解。
admin
2018-11-16
71
问题
设4阶矩阵A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),方程组Ax=β的通解为(1,2,2,1)
T
+c(1,-2,4,0)
T
,c为任意。记B=(α
3
,α
2
,α
1
,β-α
4
),求方程组Bx=α
1
-α
2
的通解。
选项
答案
首先AX=β的通解为(1,2,2,1)
T
+c(1,-2,4,0)
T
可得到下列讯息:①Ax=0的基础解系包含1个解,即4-r(A)=1,得r(A)=3,即r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=3。 ②(1,2,2,1)
T
是Ax=β解,即α
1
+2α
2
+2α
3
+α
4
=β。 ③(1,-2,4,0)
T
是Ax=0的解,即α
1
-2α
2
+4α
3
=0。α
1
,α
2
,α
3
线性相关,r(α
1
,α
2
,α
3
)=2。 显然B(0,-1,1,0)
T
=α
1
-α
2
,即(0,-1,1,0)
T
是Bx=α
1
-α
2
的一个解。 由②,B=(α
3
,α
2
,α
1
,β-α
4
)=(α
3
,α
2
,α
1
,α
1
+2α
2
+2α
3
),于是r(B)=r(α
3
,α
2
,α
1
,α
1
+2α
2
+2α
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
)=2。 则Bx=0的基础解系包含解的个数为4-r(B)=2个,α
1
-2α
2
+4α
3
=0说明(4,-2,1,0)
T
是Bx=0的解;又从B=(α
3
,α
2
,α
1
,α
1
+2α
2
+2α
3
)容易得到B=(-2,-2,-1,1)
T
=0,说明(-2,-2,-1,1)
T
也是Bx=0的解,于是(4,-2,1,0)
T
和(-2,-2,-1,1)
T
构成Bx=0的基础解系。 Bx=α
1
-α
2
的通解为:(0,-1,1,0)
T
+C
1
(4,-2,1,0)
T
+C
2
(-2,-2,-1,1)
T
,C
1
,C
2
任意。
解析
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考研数学三
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