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设n阶矩阵A与B相似,E为n阶单位矩阵,则( )
设n阶矩阵A与B相似,E为n阶单位矩阵,则( )
admin
2019-01-19
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问题
设n阶矩阵A与B相似,E为n阶单位矩阵,则( )
选项
A、λE—A=λE一B。
B、A与B有相同的特征值和特征向量。
C、A和B都相似于一个对角矩阵。
D、对任意常数t,tE一A与tE一B相似。
答案
D
解析
因为由A与B相似不能推得A=B,所以A选项不正确。
相似矩阵具有相同的特征多项式,从而有相同的特征值,但不一定具有相同的特征向量,故B选项也不正确。
对于C选项,因为根据题设不能推知A,B是否相似于对角阵,故C选项也不正确。
综上可知D选项正确。事实上,因A与B相似,故存在可逆矩阵P,使
P
-1
AP=B.
于是 P
-1
(tE一A)P=tE一P
-1
AP=tE—B,
可见对任意常数t,矩阵tE一A与E一B相似,故选D。
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考研数学三
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