2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2。且α1=(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5－4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵B．

设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2。且α1=(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5－4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵B．

admin2021-01-25  58
问题 设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2。且α1=(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5－4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．
(Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
(Ⅱ)求矩阵B．
选项
答案(Ⅰ)记矩阵A的属于特征值λi的特征向量为αi(i=1，2，3)，由特征值的定义与性质，有Akαi=λikαi(i=1，2，3，k=1，2，…)，于是有 Bα1=(A5－4A3+E)α1=(λ15－4λ13+1)α1=－2α1 因α1≠0，故由定义知－2为B的一个特征值且α1为对应的一个特征向量．类似可得 Bα2=(λ25－4λ23+1)α2=α2 Bα3=(λ35－4λ33+1)α3=α3 因为A的全部特征值为λ1，λ2，λ3，所以B的全部特征值为λi5－4λi3+1(i=1，2，3)，即B的全部特征值为－2，1，1． 因－2为B的单特征值，故B的属于特征值－2的全部特征向量为k1α1，其中k1是不为零的任意常数． 设x=(x1，x2，x3)T为B的属于特征值1的任一特征向量．因为A是实对称矩阵，所以B也是实对称矩阵．因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，所以有(x1，x2，x3)α1=0，即 x1－x2+x3=0 解得该方程组的基础解系为 ξ2=(1，1，0)T，ξ3=(－1，0，1)T 故B的属于特征值1的全部特征向量为k2ξ2+k3ξ3，其中k2，k3为不全为零的任意常数． (Ⅱ)由(Ⅰ)知α1，ξ2，ξ3为B的3个线性无关的特征向量，令矩阵 P=[α1 ξ2 ξ3] [*] 则有P－1BP [*] 从而有 [*]
解析 本题主要考查特征值与特征向量的定义与性质、矩阵相似对角化的概念与应用．
本题中方阵B=f(A)为方阵A的多项式，其中多项式f(t)=t5－4t3+1．我们知道，若λ为方阵A的一个特征值，则f(λ)为f(A)=B的一个特征值．但是，为什么能由A的全部特征值为λ1，λ2，λ3，而断言f(λ1)，f(λ2)，f(λ3)为B的全部特征值呢?对此问题，可有以下几种推导方法：
(1)由于属于互不相同特征值的特征向量线性无关，知向量组α1，α2，α3线性无关，从而知α2，α3线性无关，再由Bα2=α2，Bα3=α3，知1为B的特征值，且对应的线性无关特征向量至少有2个，故知1至少为B的二重特征值．又因3阶矩阵B的全部特征值(重特征值按重数计算)有且仅有3个，故知B的全部特征值为－2，1，1．
(2)由3阶矩阵A有3个互不相同的特征值1，2，－2，或由A为实对称矩阵，知A可相似对角化，即存在可逆矩阵Q，使
Q－1AQ

于是有
Q－1BQ=Q－1(A5－4A3+E)Q=Q－1A5Q－4Q－1A3Q+E
=(Q－1AQ)5－4(Q－1AQ)3+E=D5－4D3+E

即矩阵B与对角矩阵M相似，由于相似矩阵有相同的特征值，故知B的全部特征值为－2，1，1．
(3)也可以直接利用下面更为一般的结论：设n阶矩阵A(不一定为实对称矩阵)的全部特征值为λ1，λ2，…，λn，则对于任一多项式f(t)，n阶矩阵f(A)的全部特征值为f(λ1)，f(λ2)，…，f(λn)．
另外，需要指出，由方程x1－x2+x3=0所求基础解系，即B的属于特征值1的线性无关特征向量虽然不是唯一的，从而所得相似变换矩阵P不是唯一的，但由B=Pdiag(－2，1，1)P－1所计算出的矩阵B却是唯一的．例如，也可由x1－x2+x3=0解得B的属于特征值1的线性无关特征向量为(1，1，0)T，(－1，1，2)T，从而可取相似对角化的变换矩阵为

得B=Pdiag(－2，1，1)P－1
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考研数学三

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