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设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2。且α1=(1,-1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量.记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵. (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (Ⅱ)求矩阵B.
设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2。且α1=(1,-1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量.记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵. (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (Ⅱ)求矩阵B.
admin
2021-01-25
45
问题
设3阶实对称矩阵A的特征值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=-2。且α
1
=(1,-1,1)
T
是A的属于λ
1
的一个特征向量.记B=A
5
-4A
3
+E,其中E为3阶单位矩阵.
(Ⅰ)验证α
1
是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
(Ⅱ)求矩阵B.
选项
答案
(Ⅰ)记矩阵A的属于特征值λ
i
的特征向量为α
i
(i=1,2,3),由特征值的定义与性质,有A
k
α
i
=λ
i
k
α
i
(i=1,2,3,k=1,2,…),于是有 Bα
1
=(A
5
-4A
3
+E)α
1
=(λ
1
5
-4λ
1
3
+1)α
1
=-2α
1
因α
1
≠0,故由定义知-2为B的一个特征值且α
1
为对应的一个特征向量.类似可得 Bα
2
=(λ
2
5
-4λ
2
3
+1)α
2
=α
2
Bα
3
=(λ
3
5
-4λ
3
3
+1)α
3
=α
3
因为A的全部特征值为λ
1
,λ
2
,λ
3
,所以B的全部特征值为λ
i
5
-4λ
i
3
+1(i=1,2,3),即B的全部特征值为-2,1,1. 因-2为B的单特征值,故B的属于特征值-2的全部特征向量为k
1
α
1
,其中k
1
是不为零的任意常数. 设x=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
为B的属于特征值1的任一特征向量.因为A是实对称矩阵,所以B也是实对称矩阵.因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交,所以有(x
1
,x
2
,x
3
)α
1
=0,即 x
1
-x
2
+x
3
=0 解得该方程组的基础解系为 ξ
2
=(1,1,0)
T
,ξ
3
=(-1,0,1)
T
故B的属于特征值1的全部特征向量为k
2
ξ
2
+k
3
ξ
3
,其中k
2
,k
3
为不全为零的任意常数. (Ⅱ)由(Ⅰ)知α
1
,ξ
2
,ξ
3
为B的3个线性无关的特征向量,令矩阵 P=[α
1
ξ
2
ξ
3
] [*] 则有P
-1
BP [*] 从而有 [*]
解析
本题主要考查特征值与特征向量的定义与性质、矩阵相似对角化的概念与应用.
本题中方阵B=f(A)为方阵A的多项式,其中多项式f(t)=t
5
-4t
3
+1.我们知道,若λ为方阵A的一个特征值,则f(λ)为f(A)=B的一个特征值.但是,为什么能由A的全部特征值为λ
1
,λ
2
,λ
3
,而断言f(λ
1
),f(λ
2
),f(λ
3
)为B的全部特征值呢?对此问题,可有以下几种推导方法:
(1)由于属于互不相同特征值的特征向量线性无关,知向量组α
1
,α
2
,α
3
线性无关,从而知α
2
,α
3
线性无关,再由Bα
2
=α
2
,Bα
3
=α
3
,知1为B的特征值,且对应的线性无关特征向量至少有2个,故知1至少为B的二重特征值.又因3阶矩阵B的全部特征值(重特征值按重数计算)有且仅有3个,故知B的全部特征值为-2,1,1.
(2)由3阶矩阵A有3个互不相同的特征值1,2,-2,或由A为实对称矩阵,知A可相似对角化,即存在可逆矩阵Q,使
Q
-1
AQ
于是有
Q
-1
BQ=Q
-1
(A
5
-4A
3
+E)Q=Q
-1
A
5
Q-4Q
-1
A
3
Q+E
=(Q
-1
AQ)
5
-4(Q
-1
AQ)
3
+E=D
5
-4D
3
+E
即矩阵B与对角矩阵M相似,由于相似矩阵有相同的特征值,故知B的全部特征值为-2,1,1.
(3)也可以直接利用下面更为一般的结论:设n阶矩阵A(不一定为实对称矩阵)的全部特征值为λ
1
,λ
2
,…,λ
n
,则对于任一多项式f(t),n阶矩阵f(A)的全部特征值为f(λ
1
),f(λ
2
),…,f(λ
n
).
另外,需要指出,由方程x
1
-x
2
+x
3
=0所求基础解系,即B的属于特征值1的线性无关特征向量虽然不是唯一的,从而所得相似变换矩阵P不是唯一的,但由B=Pdiag(-2,1,1)P
-1
所计算出的矩阵B却是唯一的.例如,也可由x
1
-x
2
+x
3
=0解得B的属于特征值1的线性无关特征向量为(1,1,0)
T
,(-1,1,2)
T
,从而可取相似对角化的变换矩阵为
得B=Pdiag(-2,1,1)P
-1
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考研数学三
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