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设A,B是二随机事件,随机变量 试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立.
设A,B是二随机事件,随机变量 试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立.
admin
2019-05-08
76
问题
设A,B是二随机事件,随机变量
试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立.
选项
答案
只需证明cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,即P(AB)=P(A)P(B). 记P(A)=p
1
,P(B)=p
2
,P(AB)=p
12
.由数学期望的定义得 E(X)=1×P(A)+(-1)×P([*])=2p
1
-1. 同理可得 E(Y)=2p
2
-1. 下面求E(XY).由于XY只有两个可能取值1和一1,而 [*] 故 [*] 所以 E(XY)=1×P(XY=1)+(-1)×P(XY=-1)=4p
12
-2p
1
-2p
2
+1. 于是 cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=4p
12
-4p
1
p
2
. 因此,cov(X,Y)=0当且仅当p
12
=p
1
p
2
,即当且仅当P(AB)=P(A)P(B).这就证明了X和Y不相关当且仅当事件A和B相互独立.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3oJ4777K
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考研数学三
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