设A，B是二随机事件，随机变量试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立．

admin2019-05-08 82

问题设A，B是二随机事件，随机变量

试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立．

选项

答案只需证明cov(X，Y)=E(XY)－E(X)E(Y)=0，即P(AB)=P(A)P(B)．记P(A)=p₁，P(B)=p₂，P(AB)=p₁₂．由数学期望的定义得 E(X)=1×P(A)+(－1)×P([*])=2p₁－1．同理可得 E(Y)=2p₂－1．下面求E(XY)．由于XY只有两个可能取值1和一1，而 [*] 故 [*] 所以 E(XY)=1×P(XY=1)+(－1)×P(XY=－1)=4p₁₂－2p₁－2p₂+1．于是 cov(X，Y)=E(XY)－E(X)E(Y)=4p₁₂－4p₁p₂．因此，cov(X，Y)=0当且仅当p₁₂=p₁p₂，即当且仅当P(AB)=P(A)P(B)．这就证明了X和Y不相关当且仅当事件A和B相互独立．

解析

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