设3阶方阵A=(α1,α2,α3)有3个不同的特征值,且α3=α1+2α2,试证(1)r(A)=2;(2)若α1+α2+α3=β,求Ax=β的通解.

admin2019-12-26  71

问题 设3阶方阵A=(α1,α2,α3)有3个不同的特征值,且α31+2α2,试证(1)r(A)=2;(2)若α123=β,求Ax=β的通解.

选项

答案(1)由于α31+2α2知r(A)<3,所以0是A的一个特征值,又由于A的3个特征值各不相同,故A可对角化,且A有两个非零特征值,从而r(A)=2.所以Ax=0的基础解系只有一个线性无关的解向量. (2)由α1+2α2-α3=0得 [*] 从而得Ax=β的基础解系为 [*] 再由α123=β得 [*] 从而得Ax=β的一个特解为[*] 故Ax=β的通解为[*]k是任意常数.

解析
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