设3阶方阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2，试证(1)r(A)=2；(2)若α1+α2+α3=β，求Ax=β的通解．

admin2019-12-26 96

问题设3阶方阵A=(α₁，α₂，α₃)有3个不同的特征值，且α₃=α₁+2α₂，试证(1)r(A)=2；(2)若α₁+α₂+α₃=β，求Ax=β的通解．

选项

答案(1)由于α₃=α₁+2α₂知r(A)＜3，所以0是A的一个特征值，又由于A的3个特征值各不相同，故A可对角化，且A有两个非零特征值，从而r(A)=2．所以Ax=0的基础解系只有一个线性无关的解向量． (2)由α₁+2α₂－α₃=0得 [*] 从而得Ax=β的基础解系为 [*] 再由α₁+α₂+α₃=β得 [*] 从而得Ax=β的一个特解为[*] 故Ax=β的通解为[*]k是任意常数．

解析

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考研数学三

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