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  3. 已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解， (1)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)＝2； (2)求a，b的值及方程组的通解．

已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解， (1)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)＝2； (2)求a，b的值及方程组的通解．

admin2021-11-15  9
问题 已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解，
    (1)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)＝2；
    (2)求a，b的值及方程组的通解．
选项
答案(1)设α1，α2，α3是方程组Aχ＝β的3个线性无关的解，其中 [*] 则有A(α1－α2)＝0，A(α1－α3)＝0． 因此α1－α2，α1－α3是对应齐次线性方程组Aχ＝的解，且线性无关(否则，易推出α1，α2，α1－α3线性相关，矛盾)． 所以n－r(A)≥2，即4－r(A)≥2，那么r(A)≤2． 又矩阵A中有一个2阶子式[*]＝－1≠0，所以r(A)≥2． 因此r(A)＝2． (2)因为 [*] 又r(A)＝2，则有 [*] 对原方程组的增广矩阵[*]作初等行变换， [*] 故原方程组与下面的方程组同解． [*] 选χ3，χ4为自由变量，则 [*] 故所求通解为 [*]
解析
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考研数学一

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