已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解， (1)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)＝2； (2)求a，b的值及方程组的通解．

admin2021-11-15 5

问题已知非齐次线性方程组

有3个线性无关的解，
(1)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)＝2；
(2)求a，b的值及方程组的通解．

选项

答案(1)设α₁，α₂，α₃是方程组Aχ＝β的3个线性无关的解，其中 [*] 则有A(α₁－α₂)＝0，A(α₁－α₃)＝0．因此α₁－α₂，α₁－α₃是对应齐次线性方程组Aχ＝的解，且线性无关(否则，易推出α₁，α₂，α₁－α₃线性相关，矛盾)．所以n－r(A)≥2，即4－r(A)≥2，那么r(A)≤2．又矩阵A中有一个2阶子式[*]＝－1≠0，所以r(A)≥2．因此r(A)＝2． (2)因为 [*] 又r(A)＝2，则有 [*] 对原方程组的增广矩阵[*]作初等行变换， [*] 故原方程组与下面的方程组同解． [*] 选χ₃，χ₄为自由变量，则 [*] 故所求通解为 [*]

解析

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考研数学一

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