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设A、B都是n阶实对称矩阵,证明:存在正交矩阵P,使得P-1AP=B的充分必要条件是A与B有相同的特征多项式.
设A、B都是n阶实对称矩阵,证明:存在正交矩阵P,使得P-1AP=B的充分必要条件是A与B有相同的特征多项式.
admin
2020-03-05
9
问题
设A、B都是n阶实对称矩阵,证明:存在正交矩阵P,使得P
-1
AP=B的充分必要条件是A与B有相同的特征多项式.
选项
答案
必要性是显然的,下面证明充分性. 设A与B有相同的特征多项式,则A与B有相同的特征值λ
1
,λ
2
,…,λ
n
,因为A、B都是实对称矩阵,故存在适当的正交矩阵Q
1
,Q
2
,使得 [*] = Q
2
(Q
1
-1
AQ
1
) Q
2
-1
= (Q
1
Q
2
-1
)
-1
A(Q
1
Q
2
-1
) 令矩阵P=Q
1
Q
2
-1
,则由于正交矩阵的逆矩阵及正交矩阵的乘积仍是正交矩阵,知P为正交矩阵,且使B=p
-1
AP,故充分性得证.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/q0S4777K
0
考研数学一
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