设A、B都是n阶实对称矩阵，证明：存在正交矩阵P，使得P－1AP=B的充分必要条件是A与B有相同的特征多项式．

admin2020-03-05 25

问题设A、B都是n阶实对称矩阵，证明：存在正交矩阵P，使得P^－1AP=B的充分必要条件是A与B有相同的特征多项式．

选项

答案必要性是显然的，下面证明充分性．设A与B有相同的特征多项式，则A与B有相同的特征值λ₁，λ₂，…，λ_n，因为A、B都是实对称矩阵，故存在适当的正交矩阵Q₁，Q₂，使得 [*] = Q₂ (Q₁^－1AQ₁) Q₂^－1= (Q₁Q₂^－1)^－1A(Q₁Q₂^－1) 令矩阵P=Q₁Q₂^－1，则由于正交矩阵的逆矩阵及正交矩阵的乘积仍是正交矩阵，知P为正交矩阵，且使B=p^－1AP，故充分性得证．

解析

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