2. 考研
  3. 确定常数a，使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向 量组β1=(1，1，a)T，β2=(-2，a，4)T．β3=(-2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示．

确定常数a，使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向 量组β1=(1，1，a)T，β2=(-2，a，4)T．β3=(-2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示．

admin2020-03-05  15
问题 确定常数a，使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向
量组β1=(1，1，a)T，β2=(-2，a，4)T．β3=(-2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示．
选项
答案解法一:因为α1，α2，α3可由向量组β1，β2，β3线性表示，故三个方程组 x1β1+x2β2+x3β3=αi(i=1，2，3) 均有解．对增广矩阵作初等行变换，有 [*] 可见a≠4且a≠-2时，α1，α2，α3可由β1，β2，β3线性表示． 向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示，即有方程组 x1α1+x2α2+x3α3=βj(j=1,2,3) 无解．对增广矩阵作初等行变换,有 [*] 可见a=1或a=-2时，β2，β3不能由α1，α2，α3线性表示． 因此a=1时向量组α1，α2，α3可由向量组β1，β2，β3线性表示，但β1，β2，β3不能由α1，α2，α3线性表示． 解法二:因为α1，α2，α3可由β1，β2，β3线性表出，所以r(α1，α2，α3)≤r(β1，β2，β3).又因 β1，β2，β3不能由α1，α2，α3线性表出，故必有r(α1，α2，α3)1，β2，β3)．于是r(α1，α2，α3)<3. 有丨α1，α2，α3丨=[*]=-(a-1)(a+2)=0 解 a=1 a=-2. 而（β1，β2，β3）=[*] 因此： 当a=-2时，r(α1，α2，α3)=2，r(β1，β2，β3)=2，小满足r(α1，α2，α3)1，β2，β3)，故 a=-2应舍去． 当a=1时，α1=α2=α3=β1，可由α1，α2，α3由β1，β2，β3线性表出．但β2=(-2，1，4)T， β3=(-2，1，1)T不能由α1=α2=α3=(1，1，1)T线性表出，因此a=1为所求.
解析 若方程组x1β1+x2β2+x3β3=αi有解，则αi可由β1，β2，β3线性表示，若方程组
x1α1+x2α2+x3α3=βi无解，则卢β不能由α1，α2，α3线性表示.
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